Страница 145 номер 15.34, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCD\) — ромб
\(BD = 15\) см — меньшая диагональ
\(BK \perp AD\), \(BK = 12\) см — высота

Найти: \(S_{ABCD}\).

Решение: Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам: \(AC \perp BD\), \(OD = \frac{BD}{2} = 7{,}5\) см. Угол \(ADB\) — острый угол прямоугольного треугольника \(AOD\), поэтому основание \(K\) перпендикуляра, опущенного из точки \(B\) на прямую \(AD\), лежит на луче \(DA\).

Из прямоугольного треугольника \(BKD\): \(KD = \sqrt{BD^2 - BK^2} = \sqrt{225 - 144} = 9\) (см). Прямоугольные треугольники \(BKD\) и \(AOD\) имеют общий острый угол \(D\), поэтому они подобны: \(\frac{AD}{BD} = \frac{OD}{KD}\), откуда \(AD = \frac{BD \cdot OD}{KD} = \frac{15 \cdot 7{,}5}{9} = 12{,}5\) (см). Тогда \(AO = \sqrt{AD^2 - OD^2} = \sqrt{156{,}25 - 56{,}25} = 10\) (см) и \(AC = 20\) см \(> BD\), т. е. диагональ \(BD\) действительно меньшая.

Площадь ромба: \(S_{ABCD} = AD \cdot BK = 12{,}5 \cdot 12 = 150\) (см\(^2\)).

Ответ: 150 см\(^2\).