Страница 154 номер 17.5, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
конус с вершиной \(S\), \(O_1\) — центр основания
\(SA = 10\) см — образующая
\(O_1A = 6\) см — радиус основания
шар вписан в конус

Найти: \(r\) — радиус шара.

Решение: Радиус шара, вписанного в конус, равен радиусу окружности, вписанной в осевое сечение конуса. Пусть \(SAB\) — осевое сечение конуса, проходящее через образующую \(SA\): \(AB\) — диаметр основания, \(AB = 2 \cdot O_1A = 12\) см, \(SB = SA = 10\) см, так как все образующие конуса равны.

Высота \(SO_1\) конуса перпендикулярна плоскости основания, поэтому \(SO_1 \perp AB\) и отрезок \(SO_1\) — высота треугольника \(SAB\). Из прямоугольного треугольника \(SO_1A\): \(SO_1 = \sqrt{SA^2 - O_1A^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\) (см).

Площадь треугольника \(SAB\) равна \(\frac{1}{2} \cdot AB \cdot SO_1 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48\) (см\(^2\)), его полупериметр равен \(\frac{10 + 10 + 12}{2} = 16\) (см). Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен отношению площади треугольника к его полупериметру: \(r = \frac{48}{16} = 3\) (см).

Ответ: 3 см.