Страница 155 номер 17.21, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
конус, осевое сечение — равносторонний треугольник
внутри конуса три сферы радиуса \(1\) см
каждая сфера касается двух других, основания и образующей конуса

Найти: \(R\) — радиус основания конуса.

Решение: Пусть \(S\) — вершина конуса, \(O\) — центр основания, \(O_1\), \(O_2\), \(O_3\) — центры сфер, \(A\), \(B\), \(C\) — их проекции на плоскость основания. Плоскость основания касается каждой сферы, а касательная плоскость перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому \(A\), \(B\), \(C\) — точки касания сфер с основанием и \(O_1A = O_2B = O_3C = 1\) см. Сферы равны и различны, поэтому касаются друг друга внешним образом (при внутреннем касании расстояние между центрами было бы равно разности радиусов, то есть нулю, и равные сферы совпали бы): \(O_1O_2 = O_2O_3 = O_3O_1 = 1 + 1 = 2\) (см). Отрезки \(O_1A\) и \(O_2B\) перпендикулярны плоскости основания, равны и лежат по одну сторону от неё, поэтому \(O_1O_2BA\) — прямоугольник и \(AB = O_1O_2 = 2\) см; так же \(BC = CA = 2\) см. Значит, треугольник \(ABC\) правильный со стороной 2 см.

Пусть первая сфера касается образующей \(SM\) в точке \(T\) (\(M\) — точка окружности основания). Через \(SM\) проведём плоскость \(\gamma\), перпендикулярную плоскости осевого сечения \(SOM\), — касательную плоскость к конусу. Плоскости \(\gamma\) и основания различны (вершина \(S\) лежит в \(\gamma\), но не в плоскости основания) и имеют общую точку \(M\), то есть пересекаются по прямой; каждая из них перпендикулярна плоскости \(SOM\), поэтому прямая их пересечения перпендикулярна плоскости \(SOM\), а значит, и радиусу \(OM\): это касательная к окружности основания в точке \(M\). Основание лежит по одну сторону от этой касательной, а каждая точка конуса лежит на отрезке, соединяющем вершину \(S\) с точкой основания, поэтому весь конус лежит по одну сторону от плоскости \(\gamma\). Шар, ограниченный первой сферой, лежит внутри конуса — тоже по одну сторону от \(\gamma\) — и имеет с ней общую точку \(T\). Расстояние от \(O_1\) до \(\gamma\) не больше \(O_1T = 1\); если бы оно было меньше 1, плоскость \(\gamma\) пересекала бы шар и часть шара оказалась бы по другую сторону от неё. Значит, это расстояние равно \(O_1T\), то есть \(O_1T \perp \gamma\). Плоскость \(SOM\) перпендикулярна \(\gamma\) и содержит точку \(T\) их общей прямой \(SM\), поэтому содержит и перпендикуляр \(O_1T\) к плоскости \(\gamma\). Следовательно, центр \(O_1\) лежит в плоскости \(SOM\), а его проекция \(A\) — на прямой \(OM\).

Осевое сечение \(SMN\) (\(MN\) — диаметр основания) — правильный треугольник, \(\angle SMN = 60^\circ\). Окружность радиуса 1 с центром \(O_1\) лежит в плоскости \(SMN\) и касается стороны \(SM\) в точке \(T\), а основания \(MN\) — в точке \(A\), то есть вписана в угол \(SMN\); поэтому её центр лежит на биссектрисе этого угла и \(\angle O_1MA = 30^\circ\). Из прямоугольного треугольника \(O_1AM\): \(MA = O_1A\operatorname{ctg}30^\circ = \sqrt{3}\) см, поэтому \(OA = |OM - MA| = |R - \sqrt{3}|\).

Так же \(OB = OC = |R - \sqrt{3}|\). Точка \(O\) равноудалена от вершин правильного треугольника \(ABC\) со стороной 2 см, поэтому она — центр его описанной окружности: \(OA = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\) (см). Значит, \(|R - \sqrt{3}| = \frac{2\sqrt{3}}{3}\), откуда \(R = \sqrt{3} + \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3}\) или \(R = \sqrt{3} - \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}\). При \(R = \frac{\sqrt{3}}{3}\) высота конуса \(R\sqrt{3} = 1\) см меньше диаметра сферы, лежащей внутри конуса, — так быть не может. Значит, \(R = \frac{5\sqrt{3}}{3}\) см.

Ответ: \(\frac{5\sqrt{3}}{3}\) см.