Страница 145 номер 15.32, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дано:
\(SABC\) — правильная пирамида, \(ABC\) — основание
сфера радиуса \(r\) вписана в пирамиду и в прямую призму \(KLMK_1L_1M_1\)
\(KL = KM = \sqrt{6}\) см
ребро \(KK_1\) лежит на прямой \(AB\)
\(SC \parallel LMM_1\)
Найти: \(r\).
Решение: Пусть \(O\) — центр сферы, \(F\) — середина ребра \(AB\), \(H\) — центр правильного треугольника \(ABC\). Поскольку пирамида правильная, точка \(O\) лежит на её высоте \(SH\), а точка \(H\) — на медиане \(CF\). Имеем: \(CF \perp AB\), \(SF \perp AB\) (медианы равнобедренных треугольников \(ACB\) и \(ASB\)). Следовательно, \(AB \perp SFC\). Плоскость \(SFC\) содержит прямую \(SH\), а значит, и центр \(O\); она пересекает сферу по большой окружности радиуса \(r\).
Отрезок \(OH\) перпендикулярен плоскости \(ABC\), поэтому сфера касается основания в точке \(H\). В плоскости \(SFC\) проведём \(OE \perp SF\). Поскольку \(AB \perp SFC\) и \(OE \subset SFC\), то \(AB \perp OE\); значит, \(OE \perp ASB\) и \(E\) — точка касания сферы с гранью \(ASB\). Следовательно, большая окружность в плоскости \(SFC\) касается прямых \(FC\) и \(FS\) в точках \(H\) и \(E\).
Пусть плоскость \(\gamma\) содержит прямую \(AB\) и касается сферы в точке \(T\). Плоскости \(\gamma\) и \(SFC\) различны (прямая \(AB\) лежит в \(\gamma\) и перпендикулярна \(SFC\)) и имеют общую точку \(F\), поэтому пересекаются по прямой \(l\), проходящей через \(F\). В плоскости \(SFC\) проведём \(OT_1 \perp l\). Поскольку \(AB \perp SFC\) и \(OT_1 \subset SFC\), то \(AB \perp OT_1\); значит, прямая \(OT_1\) перпендикулярна пересекающимся прямым \(l\) и \(AB\) плоскости \(\gamma\), т. е. \(OT_1 \perp \gamma\). Радиус \(OT\) тоже перпендикулярен плоскости \(\gamma\) (касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания), а через точку \(O\) проходит только одна прямая, перпендикулярная плоскости \(\gamma\), поэтому точки \(T_1\) и \(T\) совпадают. Значит, точка \(T\) лежит в плоскости \(SFC\) на прямой \(l\) и \(l \perp OT\), т. е. \(l\) — касательная к большой окружности, проходящая через точку \(F\). Из точки \(F\) к этой окружности можно провести только две касательные — \(FC\) и \(FS\), поэтому \(\gamma\) — плоскость \(ABC\) или плоскость \(ASB\). Боковые грани призмы, проходящие через \(KK_1\), касаются сферы и содержат прямую \(AB\); значит, одна из них лежит в плоскости \(ABC\), а другая — в плоскости \(ASB\).
Боковые рёбра призмы параллельны прямой \(AB\), поэтому плоскости оснований прямой призмы, как и плоскость \(SFC\), перпендикулярны прямой \(AB\). Плоскость \(SFC\) отлична от плоскостей оснований: в ней лежит центр \(O\), удалённый от оснований на \(r\). Различные плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны, поэтому плоскость \(SFC\) параллельна основаниям и, проходя через точку \(O\) внутри призмы, пересекает призму по треугольнику \(FL_2M_2\), равному основанию \(KLM\) (\(F\) — точка ребра \(KK_1\), \(L_2\) и \(M_2\) — точки рёбер \(LL_1\) и \(MM_1\)): \(FL_2 = KL = \sqrt{6}\) см, \(FM_2 = KM = \sqrt{6}\) см, \(L_2M_2 = LM\).
Стороны \(FL_2\) и \(FM_2\) лежат в боковых гранях, проходящих через \(KK_1\), т. е. на прямых \(FC\) и \(FS\), а большая окружность, касающаяся этих прямых, лежит внутри треугольника \(FL_2M_2\); поэтому точки \(L_2\) и \(M_2\) лежат на лучах \(FC\) и \(FS\). Пусть \(L_2\) лежит на луче \(FC\), а \(M_2\) — на луче \(FS\) (иначе поменяем местами обозначения \(L\) и \(M\), условие при этом не изменится). Прямая \(SC\) лежит в плоскости \(SFC\) и параллельна плоскости \(LMM_1\), а плоскость \(SFC\) пересекает плоскость \(LMM_1\) по прямой \(L_2M_2\); значит, \(L_2M_2 \parallel SC\). Тогда треугольники \(FL_2M_2\) и \(FCS\) подобны, и \(\frac{FC}{FS} = \frac{FL_2}{FM_2} = 1\), т. е. \(FS = FC\).
Прямоугольные треугольники \(AFS\) и \(AFC\) равны по двум катетам (\(AF\) — общий, \(FS = FC\)), поэтому \(AS = AC\): боковое ребро правильной пирамиды равно стороне основания, т. е. \(SABC\) — правильный тетраэдр. Пусть его ребро равно \(a\); тогда \(FC = FS = \frac{a\sqrt{3}}{2}\), \(SC = a\), и из подобия треугольников \(FL_2M_2\) и \(FCS\): \(L_2M_2 = SC \cdot \frac{FL_2}{FC} = a \cdot \frac{2\sqrt{6}}{a\sqrt{3}} = 2\sqrt{2}\) (см).
Сфера вписана в прямую призму, поэтому в её основание можно вписать окружность радиусом, равным радиусу сферы. Основание — равнобедренный треугольник \(KLM\) с боковыми сторонами \(KL = KM = \sqrt{6}\) см и основанием \(LM = L_2M_2 = 2\sqrt{2}\) см. Его высота, проведённая к основанию \(LM\), равна \(\sqrt{6 - 2} = 2\) (см), площадь \(S_{KLM} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot 2 = 2\sqrt{2}\) (см\(^2\)), полупериметр \(p = \frac{2\sqrt{6} + 2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{6} + \sqrt{2}\) (см). Радиус окружности, вписанной в треугольник \(KLM\):
\[r = \frac{S_{KLM}}{p} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3} - 1 \text{ (см)}.\]
Ответ: \((\sqrt{3} - 1)\) см.
Дано:
\(SABC\) — правильная пирамида, \(ABC\) — основание
сфера радиуса \(r\) вписана в пирамиду и в прямую призму \(KLMK_1L_1M_1\)
\(KL = KM = \sqrt{6}\) см
ребро \(KK_1\) лежит на прямой \(AB\)
\(SC \parallel LMM_1\)
Найти: \(r\).
Решение: Пусть \(O\) — центр сферы, \(F\) — середина ребра \(AB\), \(H\) — центр правильного треугольника \(ABC\). Поскольку пирамида правильная, точка \(O\) лежит на её высоте \(SH\), а точка \(H\) — на медиане \(CF\). Имеем: \(CF \perp AB\), \(SF \perp AB\) (медианы равнобедренных треугольников \(ACB\) и \(ASB\)). Следовательно, \(AB \perp SFC\). Плоскость \(SFC\) содержит прямую \(SH\), а значит, и центр \(O\); она пересекает сферу по большой окружности радиуса \(r\).
Отрезок \(OH\) перпендикулярен плоскости \(ABC\), поэтому сфера касается основания в точке \(H\). В плоскости \(SFC\) проведём \(OE \perp SF\). Поскольку \(AB \perp SFC\) и \(OE \subset SFC\), то \(AB \perp OE\); значит, \(OE \perp ASB\) и \(E\) — точка касания сферы с гранью \(ASB\). Следовательно, большая окружность в плоскости \(SFC\) касается прямых \(FC\) и \(FS\) в точках \(H\) и \(E\).
Докажем, что боковые грани призмы, проходящие через ребро \(KK_1\), лежат в плоскостях \(ABC\) и \(ASB\). Пусть плоскость \(\gamma\) содержит прямую \(AB\) и касается сферы в точке \(T\). Плоскости \(\gamma\) и \(SFC\) различны (прямая \(AB\) лежит в \(\gamma\) и перпендикулярна \(SFC\)) и имеют общую точку \(F\), поэтому пересекаются по прямой \(l\), проходящей через \(F\). В плоскости \(SFC\) проведём \(OT_1 \perp l\). Поскольку \(AB \perp SFC\) и \(OT_1 \subset SFC\), то \(AB \perp OT_1\); значит, прямая \(OT_1\) перпендикулярна пересекающимся прямым \(l\) и \(AB\) плоскости \(\gamma\), т. е. \(OT_1 \perp \gamma\). Радиус \(OT\) тоже перпендикулярен плоскости \(\gamma\) (касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания), а через точку \(O\) проходит только одна прямая, перпендикулярная плоскости \(\gamma\), поэтому точки \(T_1\) и \(T\) совпадают. Значит, точка \(T\) лежит в плоскости \(SFC\) на прямой \(l\) и \(l \perp OT\), т. е. \(l\) — касательная к большой окружности, проходящая через точку \(F\). Из точки \(F\) к этой окружности можно провести только две касательные — \(FC\) и \(FS\), поэтому \(\gamma\) — плоскость \(ABC\) или плоскость \(ASB\). Боковые грани призмы, проходящие через \(KK_1\), касаются сферы и содержат прямую \(AB\); значит, одна из них лежит в плоскости \(ABC\), а другая — в плоскости \(ASB\).
Боковые рёбра призмы параллельны прямой \(AB\), поэтому плоскости оснований прямой призмы, как и плоскость \(SFC\), перпендикулярны прямой \(AB\). Плоскость \(SFC\) отлична от плоскостей оснований: в ней лежит центр \(O\), удалённый от оснований на \(r\). Различные плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны, поэтому плоскость \(SFC\) параллельна основаниям и, проходя через точку \(O\) внутри призмы, пересекает призму по треугольнику \(FL_2M_2\), равному основанию \(KLM\) (\(F\) — точка ребра \(KK_1\), \(L_2\) и \(M_2\) — точки рёбер \(LL_1\) и \(MM_1\)): \(FL_2 = KL = \sqrt{6}\) см, \(FM_2 = KM = \sqrt{6}\) см, \(L_2M_2 = LM\).
Стороны \(FL_2\) и \(FM_2\) лежат в боковых гранях, проходящих через \(KK_1\), т. е. на прямых \(FC\) и \(FS\), а большая окружность, касающаяся этих прямых, лежит внутри треугольника \(FL_2M_2\); поэтому точки \(L_2\) и \(M_2\) лежат на лучах \(FC\) и \(FS\). Пусть \(L_2\) лежит на луче \(FC\), а \(M_2\) — на луче \(FS\) (иначе поменяем местами обозначения \(L\) и \(M\), условие при этом не изменится). Прямая \(SC\) лежит в плоскости \(SFC\) и параллельна плоскости \(LMM_1\), а плоскость \(SFC\) пересекает плоскость \(LMM_1\) по прямой \(L_2M_2\); значит, \(L_2M_2 \parallel SC\). Тогда треугольники \(FL_2M_2\) и \(FCS\) подобны, и \(\frac{FC}{FS} = \frac{FL_2}{FM_2} = 1\), т. е. \(FS = FC\).
Прямоугольные треугольники \(AFS\) и \(AFC\) равны по двум катетам (\(AF\) — общий, \(FS = FC\)), поэтому \(AS = AC\): боковое ребро правильной пирамиды равно стороне основания, т. е. \(SABC\) — правильный тетраэдр. Пусть его ребро равно \(a\); тогда \(FC = FS = \frac{a\sqrt{3}}{2}\), \(SC = a\), и из подобия треугольников \(FL_2M_2\) и \(FCS\): \(L_2M_2 = SC \cdot \frac{FL_2}{FC} = a \cdot \frac{2\sqrt{6}}{a\sqrt{3}} = 2\sqrt{2}\) (см).
Сфера вписана в прямую призму, поэтому в её основание можно вписать окружность радиусом, равным радиусу сферы. Основание — равнобедренный треугольник \(KLM\) с боковыми сторонами \(KL = KM = \sqrt{6}\) см и основанием \(LM = L_2M_2 = 2\sqrt{2}\) см. Его высота, проведённая к основанию \(LM\), равна \(\sqrt{6 - 2} = 2\) (см), площадь \(S_{KLM} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot 2 = 2\sqrt{2}\) (см\(^2\)), полупериметр \(p = \frac{2\sqrt{6} + 2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{6} + \sqrt{2}\) (см). Радиус окружности, вписанной в треугольник \(KLM\):
\[r = \frac{S_{KLM}}{p} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3} - 1 \text{ (см)}.\]
Ответ: \((\sqrt{3} - 1)\) см.
