Страница 155 номер 17.18, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дано:
конус, \(O_1A = R\) — радиус основания
угол между образующей и плоскостью основания равен \(\alpha\)
сфера вписана в конус
касательная плоскость к сфере параллельна основанию
Найти: \(S_{\text{бок}}\) — площадь боковой поверхности образовавшегося усечённого конуса.
Решение: Пусть \(S\) — вершина конуса, \(O_1\) — центр основания. Плоскость, проходящая через ось \(SO_1\) конуса и центр сферы, перпендикулярна основанию и потому содержит перпендикуляр, опущенный из центра сферы на плоскость основания, то есть точку касания сферы с основанием; она пересекает сферу по большой окружности, а лежащие в ней образующие и диаметр основания касаются сферы, поэтому эта окружность вписана в осевое сечение. Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на его высоте, проведённой к основанию; значит, центр \(O\) сферы лежит на высоте \(SO_1\), и большая окружность сферы, лежащая в осевом сечении \(SAB\), вписана в треугольник \(SAB\) и касается \(AB\) в точке \(O_1\): \(OO_1 = r\), где \(r\) — радиус сферы.
Прямая \(SO_1\) перпендикулярна плоскости основания, поэтому перпендикулярна и плоскости, параллельной основанию. Такая плоскость касается сферы тогда и только тогда, когда расстояние от центра \(O\) до неё равно \(r\), то есть когда она пересекает прямую \(SO_1\) в точке, удалённой от \(O\) на \(r\). Одна такая точка — \(O_1\), но плоскость, проходящая через \(O_1\) перпендикулярно \(SO_1\), — это сама плоскость основания; другая — точка \(O_2\) сферы, для которой \(OO_2 = r\), а \(O\) лежит между \(O_1\) и \(O_2\). Шар, ограниченный сферой, лежит внутри конуса, поэтому \(O_2\) лежит на отрезке \(OS\). Значит, касательная плоскость проходит через \(O_2\) перпендикулярно оси и отсекает от конуса малый конус с вершиной \(S\), а образовавшийся усечённый конус имеет основания с центрами \(O_1\) и \(O_2\). Плоскость \(SAB\) она пересекает по прямой \(A_1B_1\) (\(A_1\) и \(B_1\) лежат на образующих \(SA\) и \(SB\)), причём \(A_1B_1 \parallel AB\). Большая окружность сферы касается прямой \(A_1B_1\) в точке \(O_2\) (\(OO_2 \perp A_1B_1\), \(OO_2 = r\)) и лежит между параллельными прямыми \(AB\) и \(A_1B_1\), поэтому точки её касания с образующими лежат на отрезках \(AA_1\) и \(BB_1\): окружность вписана в равнобокую трапецию \(ABB_1A_1\) — осевое сечение усечённого конуса.
В трапецию \(ABB_1A_1\) вписана окружность, поэтому суммы её противолежащих сторон равны: \(AA_1 + BB_1 = AB + A_1B_1\), то есть \(2AA_1 = 2R + 2O_2A_1\) и \(AA_1 = R + O_2A_1\).
Прямая \(SO_1\) перпендикулярна плоскости основания, поэтому \(O_1A\) — проекция образующей \(SA\) на эту плоскость, и угол между образующей и плоскостью основания — это \(\angle SAO_1 = \alpha\). Проведём высоту \(A_1P\) трапеции. Четырёхугольник \(A_1O_2O_1P\) — прямоугольник, поэтому \(PO_1 = O_2A_1\) и \(AP = R - O_2A_1\). Из прямоугольного треугольника \(A_1PA\): \(AP = AA_1\cos\alpha\), то есть \[\begin{aligned} R - O_2A_1 &= (R + O_2A_1)\cos\alpha; \\ O_2A_1(1 + \cos\alpha) &= R(1 - \cos\alpha); \qquad | : (1 + \cos\alpha) \\ O_2A_1 &= \frac{R(1 - \cos\alpha)}{1 + \cos\alpha} = \frac{2R\sin^2\frac{\alpha}{2}}{2\cos^2\frac{\alpha}{2}} = R\operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}. \end{aligned}\]
Тогда \[\begin{aligned} AA_1 &= R + R\operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2} = R\left(1 + \operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{R}{\cos^2\frac{\alpha}{2}}; \\ S_{\text{бок}} &= \pi(O_1A + O_2A_1) \cdot AA_1 = \pi \cdot AA_1^2 = \frac{\pi R^2}{\cos^4\frac{\alpha}{2}}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{\pi R^2}{\cos^4\frac{\alpha}{2}}\).
Дано:
конус, \(O_1A = R\) — радиус основания
угол между образующей и плоскостью основания равен \(\alpha\)
сфера вписана в конус
касательная плоскость к сфере параллельна основанию
Найти: \(S_{\text{бок}}\) — площадь боковой поверхности образовавшегося усечённого конуса.
Решение: Пусть \(S\) — вершина конуса, \(O_1\) — центр основания. Плоскость, проходящая через ось \(SO_1\) конуса и центр сферы, перпендикулярна основанию и потому содержит перпендикуляр, опущенный из центра сферы на плоскость основания, то есть точку касания сферы с основанием; она пересекает сферу по большой окружности, а лежащие в ней образующие и диаметр основания касаются сферы, поэтому эта окружность вписана в осевое сечение. Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на его высоте, проведённой к основанию; значит, центр \(O\) сферы лежит на высоте \(SO_1\), и большая окружность сферы, лежащая в осевом сечении \(SAB\), вписана в треугольник \(SAB\) и касается \(AB\) в точке \(O_1\): \(OO_1 = r\), где \(r\) — радиус сферы.
Прямая \(SO_1\) перпендикулярна плоскости основания, поэтому перпендикулярна и плоскости, параллельной основанию. Такая плоскость касается сферы тогда и только тогда, когда расстояние от центра \(O\) до неё равно \(r\), то есть когда она пересекает прямую \(SO_1\) в точке, удалённой от \(O\) на \(r\). Одна такая точка — \(O_1\), но плоскость, проходящая через \(O_1\) перпендикулярно \(SO_1\), — это сама плоскость основания; другая — точка \(O_2\) сферы, для которой \(OO_2 = r\), а \(O\) лежит между \(O_1\) и \(O_2\). Шар, ограниченный сферой, лежит внутри конуса, поэтому \(O_2\) лежит на отрезке \(OS\). Значит, касательная плоскость проходит через \(O_2\) перпендикулярно оси и отсекает от конуса малый конус с вершиной \(S\), а образовавшийся усечённый конус имеет основания с центрами \(O_1\) и \(O_2\). Плоскость \(SAB\) она пересекает по прямой \(A_1B_1\) (\(A_1\) и \(B_1\) лежат на образующих \(SA\) и \(SB\)), причём \(A_1B_1 \parallel AB\). Большая окружность сферы касается прямой \(A_1B_1\) в точке \(O_2\) (\(OO_2 \perp A_1B_1\), \(OO_2 = r\)) и лежит между параллельными прямыми \(AB\) и \(A_1B_1\), поэтому точки её касания с образующими лежат на отрезках \(AA_1\) и \(BB_1\): окружность вписана в равнобокую трапецию \(ABB_1A_1\) — осевое сечение усечённого конуса.
В трапецию \(ABB_1A_1\) вписана окружность, поэтому суммы её противолежащих сторон равны: \(AA_1 + BB_1 = AB + A_1B_1\), то есть \(2AA_1 = 2R + 2O_2A_1\) и \(AA_1 = R + O_2A_1\).
Прямая \(SO_1\) перпендикулярна плоскости основания, поэтому \(O_1A\) — проекция образующей \(SA\) на эту плоскость, и угол между образующей и плоскостью основания — это \(\angle SAO_1 = \alpha\). Проведём высоту \(A_1P\) трапеции. Четырёхугольник \(A_1O_2O_1P\) — прямоугольник, поэтому \(PO_1 = O_2A_1\) и \(AP = R - O_2A_1\). Из прямоугольного треугольника \(A_1PA\): \(AP = AA_1\cos\alpha\), то есть \[\begin{aligned} R - O_2A_1 &= (R + O_2A_1)\cos\alpha; \\ O_2A_1(1 + \cos\alpha) &= R(1 - \cos\alpha); \qquad | : (1 + \cos\alpha) \\ O_2A_1 &= \frac{R(1 - \cos\alpha)}{1 + \cos\alpha} = \frac{2R\sin^2\frac{\alpha}{2}}{2\cos^2\frac{\alpha}{2}} = R\operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}. \end{aligned}\]
Тогда \[AA_1 = R + R\operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2} = R\left(1 + \operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{R}{\cos^2\frac{\alpha}{2}}.\]
Площадь боковой поверхности усечённого конуса: \[S_{\text{бок}} = \pi(O_1A + O_2A_1) \cdot AA_1 = \pi \cdot AA_1^2 = \frac{\pi R^2}{\cos^4\frac{\alpha}{2}}.\]
Ответ: \(\frac{\pi R^2}{\cos^4\frac{\alpha}{2}}\).
