Страница 154 номер 17.10, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Угол между образующей усечённого конуса и плоскостью большего основания равен \(\alpha\). Найдите радиус шара, вписанного в данный усечённый конус, и радиусы оснований усечённого конуса, если его образующая равна \(b\).
Дано:
усечённый конус, \(O_1\) и \(O_2\) — центры большего и меньшего оснований
шар вписан в усечённый конус
\(b\) — образующая
\(\alpha\) — угол между образующей и плоскостью большего основания
Найти: \(r\) — радиус шара; радиусы оснований.
Решение: Пусть \(O\) — центр шара. Плоскость, проходящая через ось \(O_1O_2\) усечённого конуса и центр \(O\) шара, пересекает усечённый конус по осевому сечению \(ABB_1A_1\) — равнобокой трапеции, основания \(AB\) и \(A_1B_1\) которой — диаметры большего и меньшего оснований усечённого конуса, а боковые стороны \(AA_1 = BB_1 = b\) — образующие. Эта плоскость перпендикулярна основаниям и потому содержит перпендикуляры, опущенные из центра шара на их плоскости, то есть точки касания шара с основаниями; она пересекает шар по большому кругу, а лежащие в ней образующие \(AA_1\), \(BB_1\) и диаметры \(AB\), \(A_1B_1\) оснований касаются шара, поэтому окружность этого круга вписана в осевое сечение \(ABB_1A_1\); её радиус равен \(r\).
Проведём высоту \(A_1P\) трапеции. Плоскость осевого сечения перпендикулярна плоскости большего основания, так как содержит ось \(O_1O_2\), перпендикулярную основаниям. Прямая \(A_1P\) лежит в плоскости сечения и перпендикулярна прямой \(AB\), по которой эти плоскости пересекаются, поэтому \(A_1P\) перпендикулярна плоскости большего основания. Значит, \(AP\) — проекция образующей \(AA_1\) на эту плоскость, и угол между образующей и плоскостью большего основания — это угол \(A_1AP\): \(\angle A_1AP = \alpha\).
Из прямоугольного треугольника \(AA_1P\): \(A_1P = b\sin\alpha\), \(AP = b\cos\alpha\). Диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен её высоте: \(2r = A_1P = b\sin\alpha\), откуда \(r = \frac{1}{2}b\sin\alpha\).
Поскольку в трапецию \(ABB_1A_1\) вписана окружность, суммы её противолежащих сторон равны: \(AB + A_1B_1 = AA_1 + BB_1 = 2b\). Радиусы оснований равны \(O_1A = \frac{AB}{2}\) и \(O_2A_1 = \frac{A_1B_1}{2}\), поэтому \(O_1A + O_2A_1 = b\). В равнобокой трапеции \(AP = \frac{AB - A_1B_1}{2} = O_1A - O_2A_1\), поэтому \(O_1A - O_2A_1 = b\cos\alpha\). Складывая и вычитая полученные равенства, находим: \[\begin{aligned} O_1A &= \frac{b + b\cos\alpha}{2} = \frac{b(1 + \cos\alpha)}{2} = b\cos^2\frac{\alpha}{2}; \\ O_2A_1 &= \frac{b - b\cos\alpha}{2} = \frac{b(1 - \cos\alpha)}{2} = b\sin^2\frac{\alpha}{2}. \end{aligned}\]
Ответ: радиус шара \(\frac{1}{2}b\sin\alpha\), радиусы большего и меньшего оснований \(b\cos^2\frac{\alpha}{2}\) и \(b\sin^2\frac{\alpha}{2}\).
Угол между образующей усечённого конуса и плоскостью большего основания равен \(\alpha\). Найдите радиус шара, вписанного в данный усечённый конус, и радиусы оснований усечённого конуса, если его образующая равна \(b\).
Дано:
усечённый конус, \(O_1\) и \(O_2\) — центры большего и меньшего оснований
шар вписан в усечённый конус
\(b\) — образующая
\(\alpha\) — угол между образующей и плоскостью большего основания
Найти: \(r\) — радиус шара; радиусы оснований.
Решение: Пусть \(O\) — центр шара. Плоскость, проходящая через ось \(O_1O_2\) усечённого конуса и центр \(O\) шара, пересекает усечённый конус по осевому сечению \(ABB_1A_1\) — равнобокой трапеции, основания \(AB\) и \(A_1B_1\) которой — диаметры большего и меньшего оснований усечённого конуса, а боковые стороны \(AA_1 = BB_1 = b\) — образующие. Эта плоскость перпендикулярна основаниям и потому содержит перпендикуляры, опущенные из центра шара на их плоскости, то есть точки касания шара с основаниями; она пересекает шар по большому кругу, а лежащие в ней образующие \(AA_1\), \(BB_1\) и диаметры \(AB\), \(A_1B_1\) оснований касаются шара, поэтому окружность этого круга вписана в осевое сечение \(ABB_1A_1\); её радиус равен \(r\).
Проведём высоту \(A_1P\) трапеции. Плоскость осевого сечения перпендикулярна плоскости большего основания, так как содержит ось \(O_1O_2\), перпендикулярную основаниям. Прямая \(A_1P\) лежит в плоскости сечения и перпендикулярна прямой \(AB\), по которой эти плоскости пересекаются, поэтому \(A_1P\) перпендикулярна плоскости большего основания. Значит, \(AP\) — проекция образующей \(AA_1\) на эту плоскость, и угол между образующей и плоскостью большего основания — это угол \(A_1AP\): \(\angle A_1AP = \alpha\).
Из прямоугольного треугольника \(AA_1P\): \(A_1P = b\sin\alpha\), \(AP = b\cos\alpha\). Диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен её высоте: \(2r = A_1P = b\sin\alpha\), откуда \(r = \frac{1}{2}b\sin\alpha\).
Поскольку в трапецию \(ABB_1A_1\) вписана окружность, суммы её противолежащих сторон равны: \(AB + A_1B_1 = AA_1 + BB_1 = 2b\). Радиусы оснований равны \(O_1A = \frac{AB}{2}\) и \(O_2A_1 = \frac{A_1B_1}{2}\), поэтому \(O_1A + O_2A_1 = b\). В равнобокой трапеции \(AP = \frac{AB - A_1B_1}{2} = O_1A - O_2A_1\), поэтому \(O_1A - O_2A_1 = b\cos\alpha\). Складывая и вычитая полученные равенства и пользуясь формулами \(1 + \cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}\) и \(1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2}\), находим: \[\begin{aligned} O_1A &= \frac{b + b\cos\alpha}{2} = \frac{b(1 + \cos\alpha)}{2} = b\cos^2\frac{\alpha}{2}; \\ O_2A_1 &= \frac{b - b\cos\alpha}{2} = \frac{b(1 - \cos\alpha)}{2} = b\sin^2\frac{\alpha}{2}. \end{aligned}\]
Ответ: радиус шара \(\frac{1}{2}b\sin\alpha\), радиусы большего и меньшего оснований \(b\cos^2\frac{\alpha}{2}\) и \(b\sin^2\frac{\alpha}{2}\).
