Страница 155 номер 17.19, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Образующая конуса равна \(l\) и составляет с высотой конуса угол, равный \(\alpha\). Через две образующие конуса, угол между которыми равен \(\beta\), проведена плоскость. Найдите расстояние от этой плоскости до центра сферы, вписанной в конус.
Дано:
конус, \(SO_1\) — высота, \(SA = l\) — образующая
\(\angle ASO_1 = \alpha\)
\(SC\), \(SD\) — образующие, \(\angle CSD = \beta\)
\(O\) — центр сферы, вписанной в конус
Найти: расстояние от точки \(O\) до плоскости \(SCD\).
Решение: Плоскость, проходящая через ось \(SO_1\) конуса и центр сферы, перпендикулярна основанию и потому содержит перпендикуляр, опущенный из центра сферы на плоскость основания, то есть точку касания сферы с основанием; она пересекает сферу по большой окружности, а лежащие в ней образующие и диаметр основания касаются сферы, поэтому эта окружность вписана в осевое сечение. Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на его высоте, проведённой к основанию; значит, центр \(O\) сферы лежит на высоте \(SO_1\), и большая окружность сферы, лежащая в осевом сечении \(SAB\), вписана в треугольник \(SAB\). Пусть \(M\) — точка её касания с образующей \(SA\); радиус \(OM\) перпендикулярен \(SA\), и \(OM = OO_1 = r\), где \(r\) — радиус сферы.
Из прямоугольного треугольника \(SO_1A\): \(SO_1 = l\cos\alpha\), \(O_1A = l\sin\alpha\), \(\angle SAO_1 = 90^\circ - \alpha\). Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла \(SAO_1\), поэтому \(\angle OAO_1 = 45^\circ - \frac{\alpha}{2}\) и \(r = OO_1 = O_1A\operatorname{tg}\angle OAO_1 = l\sin\alpha\operatorname{tg}\left(45^\circ - \frac{\alpha}{2}\right)\). Из прямоугольного треугольника \(SMO\), в котором \(\angle OSM = \alpha\): \[SO = \frac{OM}{\sin\alpha} = \frac{l\sin\alpha\operatorname{tg}\left(45^\circ - \frac{\alpha}{2}\right)}{\sin\alpha} = l\operatorname{tg}\left(45^\circ - \frac{\alpha}{2}\right).\]
Сечение \(SCD\) — равнобедренный треугольник (\(SC = SD = l\)), а хорда \(CD\) не длиннее диаметра основания, равного \(2l\sin\alpha\). Если \(K\) — середина \(CD\), то медиана \(SK\) — высота и биссектриса треугольника \(SCD\), поэтому \(\sin\frac{\beta}{2} = \frac{CK}{SC} = \frac{CD}{2l} \leqslant \sin\alpha\); углы \(\frac{\beta}{2}\) и \(\alpha\) острые, значит, \(\beta \leqslant 2\alpha\). При \(\beta = 2\alpha\) хорда \(CD\) — диаметр, плоскость \(SCD\) проходит через ось и содержит точку \(O\), и искомое расстояние равно нулю.
Пусть \(\beta < 2\alpha\); тогда \(K \ne O_1\). Треугольник \(O_1CD\) тоже равнобедренный (\(O_1C = O_1D\)), поэтому \(CD \perp O_1K\); кроме того, \(CD \perp SK\). Прямая \(CD\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости \(SO_1K\), поэтому \(CD \perp SO_1K\), и плоскость \(SCD\), проходящая через \(CD\), перпендикулярна плоскости \(SO_1K\); эти плоскости пересекаются по прямой \(SK\). Проведём в плоскости \(SO_1K\) перпендикуляр \(OP\) к прямой \(SK\). Прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная их общей прямой, перпендикулярна другой плоскости, поэтому \(OP \perp SCD\) и искомое расстояние равно \(OP\).
Из прямоугольного треугольника \(SKC\): \(SK = SC\cos\frac{\beta}{2} = l\cos\frac{\beta}{2}\). Из прямоугольного треугольника \(SO_1K\): \(\cos\angle O_1SK = \frac{SO_1}{SK} = \frac{\cos\alpha}{\cos\frac{\beta}{2}}\), поэтому \[\sin\angle O_1SK = \sqrt{1 - \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\frac{\beta}{2}}} = \frac{\sqrt{\cos^2\frac{\beta}{2} - \cos^2\alpha}}{\cos\frac{\beta}{2}}.\]
\[\begin{aligned} \cos^2\frac{\beta}{2} - \cos^2\alpha &= \frac{1 + \cos\beta}{2} - \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} = \frac{\cos\beta - \cos 2\alpha}{2} = {} \\ &= \sin\left(\alpha + \frac{\beta}{2}\right)\sin\left(\alpha - \frac{\beta}{2}\right). \end{aligned}\]
Угол \(OSK\) острый, поэтому точка \(P\) лежит на луче \(SK\) и \(\angle OSP = \angle O_1SK\). Из прямоугольного треугольника \(SPO\): \[OP = SO\sin\angle O_1SK = \frac{l\operatorname{tg}\left(45^\circ - \frac{\alpha}{2}\right)\sqrt{\sin\left(\alpha + \frac{\beta}{2}\right)\sin\left(\alpha - \frac{\beta}{2}\right)}}{\cos\frac{\beta}{2}}.\]
При \(\beta = 2\alpha\) эта формула тоже даёт нуль: \(\sin\left(\alpha - \frac{\beta}{2}\right) = 0\).
Ответ: \(\frac{l\operatorname{tg}\left(45^\circ - \frac{\alpha}{2}\right)\sqrt{\sin\left(\alpha + \frac{\beta}{2}\right)\sin\left(\alpha - \frac{\beta}{2}\right)}}{\cos\frac{\beta}{2}}\).
Образующая конуса равна \(l\) и составляет с высотой конуса угол, равный \(\alpha\). Через две образующие конуса, угол между которыми равен \(\beta\), проведена плоскость. Найдите расстояние от этой плоскости до центра сферы, вписанной в конус.
Дано:
конус, \(SO_1\) — высота, \(SA = l\) — образующая
\(\angle ASO_1 = \alpha\)
\(SC\), \(SD\) — образующие, \(\angle CSD = \beta\)
\(O\) — центр сферы, вписанной в конус
Найти: расстояние от точки \(O\) до плоскости \(SCD\).
Решение: Плоскость, проходящая через ось \(SO_1\) конуса и центр сферы, перпендикулярна основанию и потому содержит перпендикуляр, опущенный из центра сферы на плоскость основания, то есть точку касания сферы с основанием; она пересекает сферу по большой окружности, а лежащие в ней образующие и диаметр основания касаются сферы, поэтому эта окружность вписана в осевое сечение. Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на его высоте, проведённой к основанию; значит, центр \(O\) сферы лежит на высоте \(SO_1\), и большая окружность сферы, лежащая в осевом сечении \(SAB\), вписана в треугольник \(SAB\). Пусть \(M\) — точка её касания с образующей \(SA\); радиус \(OM\) перпендикулярен \(SA\), и \(OM = OO_1 = r\), где \(r\) — радиус сферы.
Из прямоугольного треугольника \(SO_1A\): \(SO_1 = l\cos\alpha\), \(O_1A = l\sin\alpha\), \(\angle SAO_1 = 90^\circ - \alpha\). Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла \(SAO_1\), поэтому \(\angle OAO_1 = 45^\circ - \frac{\alpha}{2}\) и \(r = OO_1 = O_1A\operatorname{tg}\angle OAO_1 = l\sin\alpha\operatorname{tg}\left(45^\circ - \frac{\alpha}{2}\right)\). Из прямоугольного треугольника \(SMO\), в котором \(\angle OSM = \alpha\): \[SO = \frac{OM}{\sin\alpha} = \frac{l\sin\alpha\operatorname{tg}\left(45^\circ - \frac{\alpha}{2}\right)}{\sin\alpha} = l\operatorname{tg}\left(45^\circ - \frac{\alpha}{2}\right).\]
Сечение \(SCD\) — равнобедренный треугольник (\(SC = SD = l\)), а хорда \(CD\) не длиннее диаметра основания, равного \(2l\sin\alpha\). Если \(K\) — середина \(CD\), то медиана \(SK\) — высота и биссектриса треугольника \(SCD\), поэтому \(\sin\frac{\beta}{2} = \frac{CK}{SC} = \frac{CD}{2l} \leqslant \sin\alpha\); углы \(\frac{\beta}{2}\) и \(\alpha\) острые, значит, \(\beta \leqslant 2\alpha\). При \(\beta = 2\alpha\) хорда \(CD\) — диаметр, плоскость \(SCD\) проходит через ось и содержит точку \(O\), и искомое расстояние равно нулю.
Пусть \(\beta < 2\alpha\); тогда \(K \ne O_1\). Треугольник \(O_1CD\) тоже равнобедренный (\(O_1C = O_1D\)), поэтому \(CD \perp O_1K\); кроме того, \(CD \perp SK\). Прямая \(CD\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости \(SO_1K\), поэтому \(CD \perp SO_1K\), и плоскость \(SCD\), проходящая через \(CD\), перпендикулярна плоскости \(SO_1K\); эти плоскости пересекаются по прямой \(SK\). Проведём в плоскости \(SO_1K\) перпендикуляр \(OP\) к прямой \(SK\). Прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная их общей прямой, перпендикулярна другой плоскости, поэтому \(OP \perp SCD\) и искомое расстояние равно \(OP\).
Из прямоугольного треугольника \(SKC\): \(SK = SC\cos\frac{\beta}{2} = l\cos\frac{\beta}{2}\). Из прямоугольного треугольника \(SO_1K\): \(\cos\angle O_1SK = \frac{SO_1}{SK} = \frac{\cos\alpha}{\cos\frac{\beta}{2}}\), поэтому \[\sin\angle O_1SK = \sqrt{1 - \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\frac{\beta}{2}}} = \frac{\sqrt{\cos^2\frac{\beta}{2} - \cos^2\alpha}}{\cos\frac{\beta}{2}}.\]
По формулам понижения степени и разности косинусов \[\begin{aligned} \cos^2\frac{\beta}{2} - \cos^2\alpha &= \frac{1 + \cos\beta}{2} - \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} = \frac{\cos\beta - \cos 2\alpha}{2} = {} \\ &= \sin\left(\alpha + \frac{\beta}{2}\right)\sin\left(\alpha - \frac{\beta}{2}\right). \end{aligned}\]
Угол \(OSK\) острый, поэтому точка \(P\) лежит на луче \(SK\) и \(\angle OSP = \angle O_1SK\). Из прямоугольного треугольника \(SPO\): \[OP = SO\sin\angle O_1SK = \frac{l\operatorname{tg}\left(45^\circ - \frac{\alpha}{2}\right)\sqrt{\sin\left(\alpha + \frac{\beta}{2}\right)\sin\left(\alpha - \frac{\beta}{2}\right)}}{\cos\frac{\beta}{2}}.\]
При \(\beta = 2\alpha\) эта формула тоже даёт нуль: \(\sin\left(\alpha - \frac{\beta}{2}\right) = 0\).
Ответ: \(\frac{l\operatorname{tg}\left(45^\circ - \frac{\alpha}{2}\right)\sqrt{\sin\left(\alpha + \frac{\beta}{2}\right)\sin\left(\alpha - \frac{\beta}{2}\right)}}{\cos\frac{\beta}{2}}\).
