Вопросы после параграфа §16 на странице 148, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Цилиндр называют вписанным в сферу, если окружности оснований цилиндра принадлежат сфере. При этом сферу называют описанной около цилиндра. Если цилиндр вписан в сферу, то также говорят, что он вписан в шар, ограниченный этой сферой.

Ответ: цилиндр называют вписанным в сферу, если окружности оснований цилиндра принадлежат сфере.

Около любого цилиндра можно описать сферу, причём центр сферы — это середина отрезка, соединяющего центры оснований цилиндра, а радиус сферы равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения цилиндра.

Действительно, пусть \(O_1\) и \(O_2\) — центры оснований цилиндра, \(O\) — середина отрезка \(O_1O_2\). Отрезок \(O_1O_2\) перпендикулярен плоскостям оснований, поэтому для любой точки \(X\) окружности одного основания и любой точки \(Y\) окружности другого основания треугольники \(OO_1X\) и \(OO_2Y\) прямоугольные. Они равны по двум катетам: \(OO_1 = OO_2\), а \(O_1X\) и \(O_2Y\) — радиусы равных оснований. Значит, \(OX = OY\): точка \(O\) равноудалена от всех точек окружностей оснований, и сфера с центром \(O\) радиуса \(OX\) описана около цилиндра. Другого центра у описанной сферы нет: её центр равноудалён от любых трёх точек окружности основания и потому лежит на прямой, которая перпендикулярна плоскости основания и проходит через центр окружности, описанной около треугольника с вершинами в этих точках, то есть через центр основания, — на прямой \(O_1O_2\); а для точки \(Q\) этой прямой \(QX^2 = QO_1^2 + O_1X^2\) и \(QY^2 = QO_2^2 + O_2Y^2\), поэтому \(QX = QY\) только при \(QO_1 = QO_2\), то есть когда \(Q\) — середина \(O_1O_2\). Плоскость осевого сечения проходит через ось \(O_1O_2\), а значит, и через точку \(O\); она пересекает сферу по окружности с центром \(O\), на которой лежат все четыре вершины осевого сечения — концы диаметров оснований. Поэтому радиус сферы равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения цилиндра — прямоугольника, то есть половине его диагонали.

Ответ: центр сферы, описанной около цилиндра, — середина отрезка, соединяющего центры оснований цилиндра.

Конус называют вписанным в сферу, если вершина конуса и окружность его основания принадлежат сфере. При этом сферу называют описанной около конуса.

Ответ: конус называют вписанным в сферу, если вершина конуса и окружность его основания принадлежат сфере.

Около любого конуса можно описать сферу, причём центр описанной сферы принадлежит оси конуса, а радиус сферы равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения конуса.

Центр описанной сферы равноудалён от всех точек окружности основания конуса, в частности от любых трёх её точек. Поэтому он лежит на прямой, которая перпендикулярна плоскости основания и проходит через центр окружности, описанной около треугольника с вершинами в этих точках, то есть через центр основания, — на оси конуса. Плоскость осевого сечения проходит через ось, а значит, и через центр сферы; она пересекает сферу по окружности с тем же центром, на которой лежат все вершины осевого сечения — вершина конуса и концы диаметра основания. Значит, центр сферы — центр окружности, описанной около осевого сечения.

Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник, углы при основании которого острые. Центр описанной около него окружности лежит внутри треугольника, если угол при вершине острый, в середине основания, если этот угол прямой, и вне треугольника, за основанием, если угол при вершине тупой. Поэтому центр сферы, описанной около конуса, лежит на высоте конуса внутри конуса, в центре основания конуса или на продолжении высоты за основание — вне конуса.

Ответ: центр сферы, описанной около конуса, принадлежит оси конуса: это центр окружности, описанной около осевого сечения конуса.

Усечённый конус называют вписанным в сферу, если окружности оснований конуса принадлежат сфере. При этом сферу называют описанной около усечённого конуса.

Ответ: усечённый конус называют вписанным в сферу, если окружности оснований конуса принадлежат сфере.

Около любого усечённого конуса можно описать сферу, причём центр описанной сферы принадлежит оси усечённого конуса, а радиус сферы равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения усечённого конуса.

Центр описанной сферы равноудалён от всех точек окружности основания, поэтому, как и у конуса, он лежит на прямой, которая перпендикулярна плоскости этого основания и проходит через его центр, — на оси усечённого конуса. Плоскость осевого сечения проходит через ось и центр сферы и пересекает сферу по окружности с тем же центром, на которой лежат все четыре вершины осевого сечения — концы диаметров оснований. Значит, центр сферы — центр окружности, описанной около осевого сечения усечённого конуса, то есть около равнобокой трапеции.

Ответ: центр сферы, описанной около усечённого конуса, принадлежит оси усечённого конуса: это центр окружности, описанной около осевого сечения усечённого конуса.