Страница 149 номер 16.8, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
конус вписан в шар
\(KA = b\) — образующая конуса
\(KO_1 = h\) — высота конуса

Найти: \(R\) — радиус шара.

Решение: Пусть \(K\) — вершина конуса, \(O_1\) — центр его основания, \(KAB\) — осевое сечение: \(KA = KB = b\) — образующие, \(AB\) — диаметр основания. Центр шара, описанного около конуса, принадлежит оси конуса, а радиус шара равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения конуса.

Плоскость осевого сечения проходит через ось конуса, а значит, и через центр \(O\) шара; она пересекает шар по большому кругу, окружность которого проходит через точки \(K\), \(A\) и \(B\), то есть описана около треугольника \(KAB\). Вычисление ниже не зависит от того, где лежит центр \(O\) — внутри конуса, в центре его основания или вне конуса: в нём участвуют только стороны и площадь треугольника \(KAB\).

Высота конуса \(KO_1\) перпендикулярна плоскости основания, поэтому \(KO_1 \perp AB\), то есть \(KO_1\) — высота треугольника \(KAB\). Из прямоугольного треугольника \(KO_1A\): \(O_1A = \sqrt{KA^2 - KO_1^2} = \sqrt{b^2 - h^2}\), поэтому \(AB = 2\sqrt{b^2 - h^2}\) и \(S_{KAB} = \frac{1}{2}AB \cdot KO_1 = h\sqrt{b^2 - h^2}\).

Радиус окружности, описанной около треугольника, равен произведению его сторон, делённому на учетверённую площадь треугольника:

\[R = \frac{KA \cdot KB \cdot AB}{4S_{KAB}} = \frac{b \cdot b \cdot 2\sqrt{b^2 - h^2}}{4h\sqrt{b^2 - h^2}} = \frac{b^2}{2h}.\]

Ответ: \(\frac{b^2}{2h}\).