Страница 149 номер 16.10, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Найдите радиус шара, описанного около усечённого конуса, если радиусы оснований конуса равны 5 см и 8 см, а его высота — 9 см.
Дано:
усечённый конус вписан в шар
\(r = 8\) см, \(r_1 = 5\) см — радиусы оснований
\(h = 9\) см — высота
Найти: \(R\) — радиус шара.
Решение: Пусть \(O_1\) и \(O_2\) — центры большего и меньшего оснований усечённого конуса, \(ABB_1A_1\) — его осевое сечение: \(AB\) и \(A_1B_1\) — диаметры большего и меньшего оснований, \(AA_1\) и \(BB_1\) — образующие. Центр \(O\) сферы, описанной около усечённого конуса, принадлежит оси \(O_1O_2\) усечённого конуса, а радиус сферы равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения усечённого конуса.
Осевое сечение — равнобокая трапеция \(ABB_1A_1\) с основаниями \(AB = 2r = 16\) см, \(A_1B_1 = 2r_1 = 10\) см и высотой, равной высоте усечённого конуса, — 9 см. Окружность, описанная около трапеции, проходит через её вершины \(A\), \(B\) и \(B_1\), то есть описана около треугольника \(ABB_1\).
Проведём высоту \(B_1H\) трапеции: \(B_1H = 9\) см. Трапеция равнобокая, поэтому \(BH = \frac{AB - A_1B_1}{2} = \frac{16 - 10}{2} = 3\) (см), \(AH = AB - BH = 16 - 3 = 13\) (см). Из прямоугольных треугольников \(B_1HB\) и \(B_1HA\): \[\begin{aligned} BB_1 &= \sqrt{B_1H^2 + BH^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} \text{ (см)}; \\ AB_1 &= \sqrt{B_1H^2 + AH^2} = \sqrt{81 + 169} = \sqrt{250} = 5\sqrt{10} \text{ (см)}. \end{aligned}\]
Площадь треугольника \(ABB_1\): \(S_{ABB_1} = \frac{1}{2}AB \cdot B_1H = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 9 = 72\) (см\(^2\)). \[R = \frac{AB \cdot BB_1 \cdot AB_1}{4S_{ABB_1}} = \frac{16 \cdot 3\sqrt{10} \cdot 5\sqrt{10}}{4 \cdot 72} = \frac{2400}{288} = \frac{25}{3} \text{ (см)}.\]
Ось \(O_1O_2\) перпендикулярна плоскостям оснований, а точки \(B\) и \(B_1\) окружностей оснований лежат на сфере: \(OB = OB_1 = R\). Поэтому расстояния от центра шара до плоскостей оснований находим из прямоугольных треугольников \(OO_1B\) и \(OO_2B_1\): \[\begin{aligned} OO_1 &= \sqrt{OB^2 - O_1B^2} = \sqrt{\frac{625}{9} - 64} = \sqrt{\frac{49}{9}} = \frac{7}{3} \text{ (см)}; \\ OO_2 &= \sqrt{OB_1^2 - O_2B_1^2} = \sqrt{\frac{625}{9} - 25} = \sqrt{\frac{400}{9}} = \frac{20}{3} \text{ (см)}. \end{aligned}\]
Сумма \(OO_1 + OO_2 = \frac{7}{3} + \frac{20}{3} = 9\) (см) равна \(O_1O_2\), поэтому центр \(O\) шара лежит на отрезке \(O_1O_2\) — между плоскостями оснований.
Ответ: \(\frac{25}{3}\) см.
Найдите радиус шара, описанного около усечённого конуса, если радиусы оснований конуса равны 5 см и 8 см, а его высота — 9 см.
Дано:
усечённый конус вписан в шар
\(r = 8\) см, \(r_1 = 5\) см — радиусы оснований
\(h = 9\) см — высота
Найти: \(R\) — радиус шара.
Решение: Пусть \(O_1\) и \(O_2\) — центры большего и меньшего оснований усечённого конуса, \(ABB_1A_1\) — его осевое сечение: \(AB\) и \(A_1B_1\) — диаметры большего и меньшего оснований, \(AA_1\) и \(BB_1\) — образующие. Центр \(O\) сферы, описанной около усечённого конуса, принадлежит оси \(O_1O_2\) усечённого конуса, а радиус сферы равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения усечённого конуса.
Осевое сечение — равнобокая трапеция \(ABB_1A_1\) с основаниями \(AB = 2r = 16\) см, \(A_1B_1 = 2r_1 = 10\) см и высотой, равной высоте усечённого конуса, — 9 см. Окружность, описанная около трапеции, проходит через её вершины \(A\), \(B\) и \(B_1\), то есть описана около треугольника \(ABB_1\).
Проведём высоту \(B_1H\) трапеции: \(B_1H = 9\) см. Трапеция равнобокая, поэтому \(BH = \frac{AB - A_1B_1}{2} = \frac{16 - 10}{2} = 3\) (см), \(AH = AB - BH = 16 - 3 = 13\) (см). Из прямоугольных треугольников \(B_1HB\) и \(B_1HA\): \[\begin{aligned} BB_1 &= \sqrt{B_1H^2 + BH^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} \text{ (см)}; \\ AB_1 &= \sqrt{B_1H^2 + AH^2} = \sqrt{81 + 169} = \sqrt{250} = 5\sqrt{10} \text{ (см)}. \end{aligned}\]
Площадь треугольника \(ABB_1\): \(S_{ABB_1} = \frac{1}{2}AB \cdot B_1H = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 9 = 72\) (см\(^2\)). Радиус окружности, описанной около треугольника, найдём по формуле \(R = \frac{abc}{4S}\): \[R = \frac{AB \cdot BB_1 \cdot AB_1}{4S_{ABB_1}} = \frac{16 \cdot 3\sqrt{10} \cdot 5\sqrt{10}}{4 \cdot 72} = \frac{2400}{288} = \frac{25}{3} \text{ (см)}.\]
Ось \(O_1O_2\) перпендикулярна плоскостям оснований, а точки \(B\) и \(B_1\) окружностей оснований лежат на сфере: \(OB = OB_1 = R\). Поэтому расстояния от центра шара до плоскостей оснований находим из прямоугольных треугольников \(OO_1B\) и \(OO_2B_1\): \[\begin{aligned} OO_1 &= \sqrt{OB^2 - O_1B^2} = \sqrt{\frac{625}{9} - 64} = \sqrt{\frac{49}{9}} = \frac{7}{3} \text{ (см)}; \\ OO_2 &= \sqrt{OB_1^2 - O_2B_1^2} = \sqrt{\frac{625}{9} - 25} = \sqrt{\frac{400}{9}} = \frac{20}{3} \text{ (см)}. \end{aligned}\]
Сумма \(OO_1 + OO_2 = \frac{7}{3} + \frac{20}{3} = 9\) (см) равна \(O_1O_2\), поэтому центр \(O\) шара лежит на отрезке \(O_1O_2\) — между плоскостями оснований.
Ответ: \(\frac{25}{3}\) см.
