Страница 148 номер 16.2, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
сфера описана около цилиндра
\(h = 4\sqrt{3}\) см — высота цилиндра
\(AA_1B_1B\) — осевое сечение цилиндра
угол между диагональю \(AB_1\) и плоскостью основания равен \(60^\circ\)

Найти: \(R\) — радиус сферы.

Решение: Пусть \(O_1\) и \(O_2\) — центры оснований цилиндра. Осевое сечение \(AA_1B_1B\) — прямоугольник: его стороны \(AB\) и \(A_1B_1\) — диаметры оснований, а \(AA_1\) и \(BB_1\) — образующие. Центр сферы, описанной около цилиндра, — середина \(O\) отрезка \(O_1O_2\), а радиус сферы равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения цилиндра, то есть половине диагонали прямоугольника \(AA_1B_1B\): \(R = \frac{AB_1}{2}\).

Образующая \(BB_1\) перпендикулярна плоскости основания, поэтому отрезок \(AB\) — проекция диагонали \(AB_1\) на эту плоскость, и угол между диагональю и плоскостью основания — это угол \(B_1AB\): \(\angle B_1AB = 60^\circ\). В прямоугольном треугольнике \(ABB_1\) (\(\angle ABB_1 = 90^\circ\)) катет \(BB_1 = h = 4\sqrt{3}\) см лежит против угла \(60^\circ\), поэтому \(AB_1 = \frac{BB_1}{\sin 60^\circ} = 4\sqrt{3} : \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\) (см).

\(R = \frac{AB_1}{2} = \frac{8}{2} = 4\) (см).

Ответ: 4 см.