Страница 149 номер 16.13, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
усечённый конус вписан в шар
\(r = 4\) см, \(r_1 = 3\) см — радиусы оснований
\(R = 5\) см — радиус шара

Найти: \(h\) — высоту усечённого конуса.

Решение: Пусть \(O_1\) и \(O_2\) — центры оснований радиусов \(r\) и \(r_1\), \(A\) и \(A_1\) — точки окружностей этих оснований, \(O\) — центр шара. Центр сферы, описанной около усечённого конуса, принадлежит оси \(O_1O_2\) усечённого конуса. Окружности оснований лежат на сфере, поэтому \(OA = OA_1 = R = 5\) см.

Ось перпендикулярна плоскостям оснований, поэтому треугольники \(OO_1A\) и \(OO_2A_1\) прямоугольные: \[\begin{aligned} OO_1 &= \sqrt{OA^2 - O_1A^2} = \sqrt{25 - 16} = 3 \text{ (см)}; \\ OO_2 &= \sqrt{OA_1^2 - O_2A_1^2} = \sqrt{25 - 9} = 4 \text{ (см)}. \end{aligned}\]

Высота усечённого конуса равна \(O_1O_2\), а точки \(O_1\) и \(O_2\) лежат на одной прямой с точкой \(O\) на расстояниях 3 см и 4 см от неё. Возможны два случая.

Первый случай: основания лежат по разные стороны от центра шара, то есть \(O\) лежит между \(O_1\) и \(O_2\) — внутри усечённого конуса. Тогда \(h = O_1O_2 = OO_1 + OO_2 = 3 + 4 = 7\) (см).

Второй случай: основания лежат по одну сторону от центра шара. Так как \(OO_1 < OO_2\), точка \(O_1\) лежит между \(O\) и \(O_2\), центр шара лежит вне усечённого конуса, и \(h = O_1O_2 = OO_2 - OO_1 = 4 - 3 = 1\) (см).

Ответ: 7 см или 1 см.