Страница 149 номер 16.5, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
В шар вписан цилиндр, высота которого равна диаметру основания. Во сколько раз площадь большого круга шара больше площади основания цилиндра?
Дано:
цилиндр вписан в шар радиуса \(R\)
\(r\) — радиус основания цилиндра, \(h\) — его высота
\(h = 2r\)
Найти: \(\frac{S}{S_{\text{осн}}}\) — отношение площади \(S\) большого круга шара к площади \(S_{\text{осн}}\) основания цилиндра.
Решение: Пусть \(O_1\) и \(O_2\) — центры оснований цилиндра, \(AA_1B_1B\) — его осевое сечение: \(AB\) и \(A_1B_1\) — диаметры оснований, \(AA_1\) и \(BB_1\) — образующие. Центр шара, описанного около цилиндра, — середина \(O\) отрезка \(O_1O_2\), а радиус шара равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения цилиндра.
Осевое сечение — прямоугольник со сторонами \(AB = 2r\) и \(BB_1 = h = 2r\), то есть квадрат. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине его диагонали. Диагональ квадрата со стороной \(2r\) равна \(2r\sqrt{2}\), поэтому \(R = \frac{2r\sqrt{2}}{2} = r\sqrt{2}\).
\[\begin{aligned} S &= \pi R^2 = \pi(r\sqrt{2})^2 = 2\pi r^2; \\ S_{\text{осн}} &= \pi r^2; \\ \frac{S}{S_{\text{осн}}} &= \frac{2\pi r^2}{\pi r^2} = 2. \end{aligned}\]
Ответ: в 2 раза.
В шар вписан цилиндр, высота которого равна диаметру основания. Во сколько раз площадь большого круга шара больше площади основания цилиндра?
Дано:
цилиндр вписан в шар радиуса \(R\)
\(r\) — радиус основания цилиндра, \(h\) — его высота
\(h = 2r\)
Найти: \(\frac{S}{S_{\text{осн}}}\) — отношение площади \(S\) большого круга шара к площади \(S_{\text{осн}}\) основания цилиндра.
Решение: Пусть \(O_1\) и \(O_2\) — центры оснований цилиндра, \(AA_1B_1B\) — его осевое сечение: \(AB\) и \(A_1B_1\) — диаметры оснований, \(AA_1\) и \(BB_1\) — образующие. Центр шара, описанного около цилиндра, — середина \(O\) отрезка \(O_1O_2\), а радиус шара равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения цилиндра.
Осевое сечение — прямоугольник со сторонами \(AB = 2r\) и \(BB_1 = h = 2r\), то есть квадрат. Центр окружности, описанной около квадрата, — точка пересечения его диагоналей, а радиус равен половине диагонали. Диагональ квадрата со стороной \(2r\) равна \(2r\sqrt{2}\), поэтому \(R = \frac{2r\sqrt{2}}{2} = r\sqrt{2}\).
Плоскость осевого сечения проходит через ось \(O_1O_2\), а значит, и через центр \(O\) шара. Она пересекает шар по большому кругу, окружность которого описана около квадрата \(AA_1B_1B\); радиус большого круга равен радиусу шара \(R\).
Площадь большого круга шара и площадь основания цилиндра:
\[\begin{aligned} S &= \pi R^2 = \pi(r\sqrt{2})^2 = 2\pi r^2; \\ S_{\text{осн}} &= \pi r^2; \\ \frac{S}{S_{\text{осн}}} &= \frac{2\pi r^2}{\pi r^2} = 2. \end{aligned}\]
Ответ: в 2 раза.
