Страница 149 номер 16.7, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Радиус основания цилиндра равен \(r\), а радиус шара, описанного около этого цилиндра, равен \(R\). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Дано:
цилиндр вписан в шар
\(r\) — радиус основания цилиндра
\(R\) — радиус шара
Найти: \(S_{\text{бок}}\).
Решение: Пусть \(O_1\) и \(O_2\) — центры оснований цилиндра. Осевое сечение \(AA_1B_1B\) — прямоугольник: его стороны \(AB\) и \(A_1B_1\) — диаметры оснований, а \(AA_1\) и \(BB_1\) — образующие. Центр шара, описанного около цилиндра, — середина \(O\) отрезка \(O_1O_2\), а радиус шара равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения цилиндра, то есть половине диагонали прямоугольника \(AA_1B_1B\): \(AB_1 = 2R\).
В прямоугольном треугольнике \(ABB_1\) (\(\angle ABB_1 = 90^\circ\)) гипотенуза \(AB_1 = 2R\), катет \(AB = 2r\), а катет \(BB_1\) — образующая, равная высоте \(h\) цилиндра. По теореме Пифагора \(h = BB_1 = \sqrt{AB_1^2 - AB^2} = \sqrt{4R^2 - 4r^2} = 2\sqrt{R^2 - r^2}\).
\[S_{\text{бок}} = 2\pi rh = 2\pi r \cdot 2\sqrt{R^2 - r^2} = 4\pi r\sqrt{R^2 - r^2}.\]
Ответ: \(4\pi r\sqrt{R^2 - r^2}\).
