Страница 153 номер 17.2, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около шара, радиус которого равен \(R\).
Дано:
цилиндр описан около шара с центром \(O\)
\(R\) — радиус шара
Найти: \(S_{\text{бок}}\) — площадь боковой поверхности цилиндра.
Решение: Пусть \(O_1\) и \(O_2\) — центры оснований цилиндра. Плоскость, проходящая через ось \(O_1O_2\) и центр \(O\) шара, пересекает цилиндр по осевому сечению \(ABB_1A_1\): \(AB\) и \(A_1B_1\) — диаметры оснований, \(AA_1\) и \(BB_1\) — образующие. Эта плоскость перпендикулярна основаниям и потому содержит перпендикуляры, опущенные из центра шара на их плоскости, то есть точки касания шара с основаниями; она пересекает шар по большому кругу, а лежащие в ней образующие \(AA_1\), \(BB_1\) и диаметры \(AB\), \(A_1B_1\) оснований касаются шара, поэтому окружность этого круга вписана в осевое сечение \(ABB_1A_1\). Радиус этой окружности равен \(R\).
Прямоугольник, в который можно вписать окружность, является квадратом, а сторона квадрата равна диаметру вписанной в него окружности: \(AB = AA_1 = 2R\). Значит, радиус основания цилиндра \(O_1A = \frac{AB}{2} = R\), а высота цилиндра равна его образующей \(AA_1 = 2R\).
\(S_{\text{бок}} = 2\pi \cdot O_1A \cdot AA_1 = 2\pi \cdot R \cdot 2R = 4\pi R^2\).
Ответ: \(4\pi R^2\).
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около шара, радиус которого равен \(R\).
Дано:
цилиндр описан около шара с центром \(O\)
\(R\) — радиус шара
Найти: \(S_{\text{бок}}\) — площадь боковой поверхности цилиндра.
Решение: Пусть \(O_1\) и \(O_2\) — центры оснований цилиндра. Плоскость, проходящая через ось \(O_1O_2\) и центр \(O\) шара, пересекает цилиндр по осевому сечению \(ABB_1A_1\): \(AB\) и \(A_1B_1\) — диаметры оснований, \(AA_1\) и \(BB_1\) — образующие. Эта плоскость перпендикулярна основаниям и потому содержит перпендикуляры, опущенные из центра шара на их плоскости, то есть точки касания шара с основаниями; она пересекает шар по большому кругу, а лежащие в ней образующие \(AA_1\), \(BB_1\) и диаметры \(AB\), \(A_1B_1\) оснований касаются шара, поэтому окружность этого круга вписана в осевое сечение \(ABB_1A_1\). Радиус этой окружности равен \(R\).
Прямоугольник, в который можно вписать окружность, является квадратом, а сторона квадрата равна диаметру вписанной в него окружности: \(AB = AA_1 = 2R\). Значит, радиус основания цилиндра \(O_1A = \frac{AB}{2} = R\), а высота цилиндра равна его образующей \(AA_1 = 2R\).
По формуле площади боковой поверхности цилиндра \(S_{\text{бок}} = 2\pi \cdot O_1A \cdot AA_1 = 2\pi \cdot R \cdot 2R = 4\pi R^2\).
Ответ: \(4\pi R^2\).
