Страница 145 номер 15.30, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Основанием пирамиды \(SABCD\) является параллелограмм \(ABCD\). Известно, что в данную пирамиду можно вписать шар. Докажите, что сумма площадей граней \(ASB\) и \(CSD\) равна сумме площадей граней \(BSC\) и \(DSA\).
Пусть \(O\) — центр вписанного шара, \(M\), \(N\), \(E\), \(F\) и \(P\) — точки касания шара с гранями \(ABS\), \(DAS\), \(CDS\), \(BSC\) и \(ABCD\) соответственно. Каждая грань касается шара, поэтому точка касания принадлежит своей грани. Более того, она лежит внутри грани: если бы, например, точка \(M\) лежала на ребре \(AB\), то различные плоскости \(ABS\) и \(ABC\) касались бы шара в одной и той же точке \(M\) и обе были бы перпендикулярны радиусу \(OM\), а через точку \(M\) проходит только одна плоскость, перпендикулярная прямой \(OM\).
Прямые \(AM\), \(AN\) и \(AP\) лежат в касательных плоскостях граней и проходят через точки касания, т. е. касаются шара. Отрезки касательных, соединяющие данную точку с точками касания, равны: \(AM = AN = AP\). Так же \(BM = BF = BP\), \(CF = CE = CP\), \(DE = DN = DP\) и \(SM = SN = SE = SF\).
Значит, треугольники \(AMS\) и \(ANS\) равны по трём сторонам (\(AM = AN\), \(SM = SN\), сторона \(AS\) общая); так же равны треугольники \(DNS\) и \(DES\), \(CES\) и \(CFS\), \(BFS\) и \(BMS\), а также треугольники \(AMB\) и \(APB\), \(AND\) и \(APD\), \(DEC\) и \(DPC\), \(CFB\) и \(CPB\).
Точка \(M\) лежит внутри грани \(ASB\) и разбивает её на треугольники \(AMS\), \(BMS\), \(AMB\), поэтому \(S_{ASB} = S_{AMS} + S_{BMS} + S_{AMB}\); так же точка \(E\) разбивает грань \(CSD\) на треугольники \(CES\), \(DES\), \(DEC\). Заменив площади этих шести треугольников площадями равных им треугольников, получим: \(S_{ASB} + S_{CSD}\) — сумма площадей треугольников \(ANS\), \(BFS\), \(CFS\), \(DNS\), \(APB\) и \(DPC\). Точно так же \(S_{BSC} + S_{DSA}\) — сумма площадей треугольников \(BFS\), \(CFS\), \(DNS\), \(ANS\), \(CPB\) и \(APD\). Площади первых четырёх треугольников в обеих суммах одни и те же, поэтому осталось доказать, что \(S_{APB} + S_{DPC} = S_{CPB} + S_{APD}\).
Точка \(P\) лежит внутри параллелограмма \(ABCD\), поэтому сумма расстояний от неё до параллельных прямых \(AB\) и \(CD\) равна расстоянию \(h\) между этими прямыми. Так как \(CD = AB\), то \(S_{APB} + S_{DPC} = \frac{1}{2}AB \cdot h = \frac{1}{2}S_{ABCD}\). Так же \(S_{CPB} + S_{APD} = \frac{1}{2}S_{ABCD}\). Значит, \(S_{APB} + S_{DPC} = S_{CPB} + S_{APD}\), и \(S_{ASB} + S_{CSD} = S_{BSC} + S_{DSA}\).
Ответ: сумма площадей граней \(ASB\) и \(CSD\) равна сумме площадей граней \(BSC\) и \(DSA\).
Основанием пирамиды \(SABCD\) является параллелограмм \(ABCD\). Известно, что в данную пирамиду можно вписать шар. Докажите, что сумма площадей граней \(ASB\) и \(CSD\) равна сумме площадей граней \(BSC\) и \(DSA\).
Пусть \(O\) — центр вписанного шара, \(M\), \(N\), \(E\), \(F\) и \(P\) — точки касания шара с гранями \(ABS\), \(DAS\), \(CDS\), \(BSC\) и \(ABCD\) соответственно. Каждая грань касается шара, поэтому точка касания принадлежит своей грани. Более того, она лежит внутри грани: если бы, например, точка \(M\) лежала на ребре \(AB\), то различные плоскости \(ABS\) и \(ABC\) касались бы шара в одной и той же точке \(M\) и обе были бы перпендикулярны радиусу \(OM\), а через точку \(M\) проходит только одна плоскость, перпендикулярная прямой \(OM\).
Прямые \(AM\), \(AN\) и \(AP\) лежат в касательных плоскостях граней и проходят через точки касания, т. е. касаются шара. Отрезки касательных, соединяющие данную точку с точками касания, равны: \(AM = AN = AP\). Так же \(BM = BF = BP\), \(CF = CE = CP\), \(DE = DN = DP\) и \(SM = SN = SE = SF\).
Значит, треугольники \(AMS\) и \(ANS\) равны по трём сторонам (\(AM = AN\), \(SM = SN\), сторона \(AS\) общая); так же равны треугольники \(DNS\) и \(DES\), \(CES\) и \(CFS\), \(BFS\) и \(BMS\), а также треугольники \(AMB\) и \(APB\), \(AND\) и \(APD\), \(DEC\) и \(DPC\), \(CFB\) и \(CPB\). Равные треугольники имеют равные площади.
Точка \(M\) лежит внутри грани \(ASB\) и разбивает её на треугольники \(AMS\), \(BMS\), \(AMB\), поэтому \(S_{ASB} = S_{AMS} + S_{BMS} + S_{AMB}\); так же точка \(E\) разбивает грань \(CSD\) на треугольники \(CES\), \(DES\), \(DEC\). Заменив площади этих шести треугольников площадями равных им треугольников, получим: \(S_{ASB} + S_{CSD}\) — сумма площадей треугольников \(ANS\), \(BFS\), \(CFS\), \(DNS\), \(APB\) и \(DPC\). Точно так же \(S_{BSC} + S_{DSA}\) — сумма площадей треугольников \(BFS\), \(CFS\), \(DNS\), \(ANS\), \(CPB\) и \(APD\). Площади первых четырёх треугольников в обеих суммах одни и те же, поэтому осталось доказать, что \(S_{APB} + S_{DPC} = S_{CPB} + S_{APD}\).
Точка \(P\) лежит внутри параллелограмма \(ABCD\), поэтому сумма расстояний от неё до параллельных прямых \(AB\) и \(CD\) равна расстоянию \(h\) между этими прямыми. Так как \(CD = AB\), то \(S_{APB} + S_{DPC} = \frac{1}{2}AB \cdot h = \frac{1}{2}S_{ABCD}\). Так же \(S_{CPB} + S_{APD} = \frac{1}{2}S_{ABCD}\). Значит, \(S_{APB} + S_{DPC} = S_{CPB} + S_{APD}\), и \(S_{ASB} + S_{CSD} = S_{BSC} + S_{DSA}\).
Ответ: сумма площадей граней \(ASB\) и \(CSD\) равна сумме площадей граней \(BSC\) и \(DSA\).
