Страница 149 номер 16.9, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Радиус описанного около конуса шара равен \(R\). Образующую конуса видно из центра этого шара под углом \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Дано:
конус вписан в шар
\(R\) — радиус шара, \(O\) — его центр
\(KA\) — образующая конуса (\(K\) — вершина)
\(\angle KOA = \alpha\)
Найти: \(S_{\text{бок}}\).
Решение: Пусть \(O_1\) — центр основания конуса, \(r\) — радиус основания, \(l = KA\) — образующая; точка \(A\) лежит на окружности основания. Точки \(K\) и \(A\) лежат на сфере, поэтому \(OK = OA = R\). Центр шара, описанного около конуса, принадлежит оси конуса — прямой \(KO_1\).
Плоскость \(KO_1A\) проходит через ось конуса, а значит, и через центр \(O\) шара. Она пересекает шар по большому кругу, а конус — по осевому сечению \(KAB\) (\(AB\) — диаметр основания), вписанному в окружность этого круга.
Треугольник \(KOA\) равнобедренный (\(OK = OA\)), поэтому его высота \(OM\) является медианой и биссектрисой: \(KM = \frac{l}{2}\), \(\angle KOM = \frac{\alpha}{2}\). Из прямоугольного треугольника \(KMO\): \(KM = OK\sin\frac{\alpha}{2} = R\sin\frac{\alpha}{2}\), поэтому \(l = 2KM = 2R\sin\frac{\alpha}{2}\).
Высота конуса \(KO_1\) перпендикулярна плоскости основания, поэтому \(O_1A \perp KO_1\), и отрезок \(O_1A\) — высота треугольника \(KOA\), проведённая из вершины \(A\) к прямой \(KO\). Площадь треугольника \(KOA\) равна половине произведения \(OK\) на эту высоту и равна \(\frac{1}{2}OK \cdot OA\sin\alpha\), поэтому \(O_1A = OA\sin\alpha\), то есть \(r = R\sin\alpha\). Это верно при любом положении центра \(O\) на оси: внутри конуса (тогда угол \(\alpha\) тупой), в центре основания (\(\alpha = 90^\circ\), \(r = R\)) или вне конуса (\(\alpha\) острый).
\[S_{\text{бок}} = \pi rl = \pi \cdot R\sin\alpha \cdot 2R\sin\frac{\alpha}{2} = 2\pi R^2 \sin\alpha\sin\frac{\alpha}{2}.\]
Ответ: \(2\pi R^2 \sin\alpha\sin\frac{\alpha}{2}\).
Радиус описанного около конуса шара равен \(R\). Образующую конуса видно из центра этого шара под углом \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Дано:
конус вписан в шар
\(R\) — радиус шара, \(O\) — его центр
\(KA\) — образующая конуса (\(K\) — вершина)
\(\angle KOA = \alpha\)
Найти: \(S_{\text{бок}}\).
Решение: Пусть \(O_1\) — центр основания конуса, \(r\) — радиус основания, \(l = KA\) — образующая; точка \(A\) лежит на окружности основания, и образующую \(KA\) видно из центра шара под углом \(\angle KOA = \alpha\). Точки \(K\) и \(A\) лежат на сфере, поэтому \(OK = OA = R\). Центр шара, описанного около конуса, принадлежит оси конуса — прямой \(KO_1\).
Плоскость \(KO_1A\) проходит через ось конуса, а значит, и через центр \(O\) шара. Она пересекает шар по большому кругу, а конус — по осевому сечению \(KAB\) (\(AB\) — диаметр основания), вписанному в окружность этого круга.
Треугольник \(KOA\) равнобедренный (\(OK = OA\)), поэтому его высота \(OM\) является медианой и биссектрисой: \(KM = \frac{l}{2}\), \(\angle KOM = \frac{\alpha}{2}\). Из прямоугольного треугольника \(KMO\): \(KM = OK\sin\frac{\alpha}{2} = R\sin\frac{\alpha}{2}\), поэтому \(l = 2KM = 2R\sin\frac{\alpha}{2}\).
Высота конуса \(KO_1\) перпендикулярна плоскости основания, поэтому \(O_1A \perp KO_1\), и отрезок \(O_1A\) — высота треугольника \(KOA\), проведённая из вершины \(A\) к прямой \(KO\). Площадь треугольника \(KOA\) равна половине произведения \(OK\) на эту высоту и равна \(\frac{1}{2}OK \cdot OA\sin\alpha\), поэтому \(O_1A = OA\sin\alpha\), то есть \(r = R\sin\alpha\). Это верно при любом положении центра \(O\) на оси: внутри конуса (тогда угол \(\alpha\) тупой), в центре основания (\(\alpha = 90^\circ\), \(r = R\)) или вне конуса (\(\alpha\) острый).
\[S_{\text{бок}} = \pi rl = \pi \cdot R\sin\alpha \cdot 2R\sin\frac{\alpha}{2} = 2\pi R^2 \sin\alpha\sin\frac{\alpha}{2}.\]
Ответ: \(2\pi R^2 \sin\alpha\sin\frac{\alpha}{2}\).
