Страница 149 номер 16.4, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
сфера описана около конуса
\(KA = 9\) см — образующая конуса
\(AB = KA\) — диаметр основания конуса

Найти: \(R\) — радиус сферы.

Решение: Пусть \(K\) — вершина конуса, \(O_1\) — центр его основания, \(KAB\) — осевое сечение: \(KA\) и \(KB\) — образующие, \(AB\) — диаметр основания. Центр сферы, описанной около конуса, принадлежит оси конуса, а радиус сферы равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения конуса.

В треугольнике \(KAB\) стороны \(KA\) и \(KB\) равны как образующие конуса, а \(AB = KA\) по условию, поэтому \(KA = KB = AB = 9\) см, и треугольник \(KAB\) правильный. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, в \(\sqrt{3}\) раз меньше его стороны: \(R = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}\) (см).

Плоскость осевого сечения проходит через ось конуса, а значит, и через центр \(O\) сферы; она пересекает сферу по большой окружности, которая проходит через точки \(K\), \(A\) и \(B\), то есть описана около треугольника \(KAB\). Правильный треугольник остроугольный, поэтому центр \(O\) этой окружности лежит внутри треугольника, на его высоте \(KO_1\). Значит, центр сферы лежит внутри конуса, на его высоте.

В плоскости осевого сечения правильный треугольник \(KAB\) со стороной 9 см вписан в большую окружность сферы с центром \(O\): \(OK = OA = OB = R\).

Ответ: \(3\sqrt{3}\) см.