Страница 154 номер 17.9, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
усечённый конус, \(O_1\) и \(O_2\) — центры оснований
\(R\) и \(r\) — радиусы оснований с центрами \(O_1\) и \(O_2\)
сфера с центром \(O\) вписана в усечённый конус

Найти: радиус сферы.

Решение: Радиусы оснований усечённого конуса различны; пусть для определённости \(R > r\). Плоскость, проходящая через ось \(O_1O_2\) усечённого конуса и центр \(O\) сферы, пересекает усечённый конус по осевому сечению \(ABB_1A_1\) — равнобокой трапеции, основания \(AB = 2R\) и \(A_1B_1 = 2r\) которой — диаметры оснований усечённого конуса, а боковые стороны \(AA_1\) и \(BB_1\) — образующие. Эта плоскость перпендикулярна основаниям и потому содержит перпендикуляры, опущенные из центра сферы на их плоскости, то есть точки касания сферы с основаниями; она пересекает сферу по большой окружности, а лежащие в ней образующие \(AA_1\), \(BB_1\) и диаметры \(AB\), \(A_1B_1\) оснований касаются сферы, поэтому эта окружность вписана в осевое сечение \(ABB_1A_1\).

Поскольку в трапецию \(ABB_1A_1\) вписана окружность, суммы её противолежащих сторон равны: \(AA_1 + BB_1 = AB + A_1B_1\), то есть \(2AA_1 = 2R + 2r\), откуда \(AA_1 = R + r\). Проведём высоту \(A_1P\) трапеции.

В равнобокой трапеции \(AP = \frac{AB - A_1B_1}{2} = \frac{2R - 2r}{2} = R - r\). Из прямоугольного треугольника \(AA_1P\): \[\begin{aligned} &A_1P = \sqrt{AA_1^2 - AP^2} = {} \\ &= \sqrt{(R + r)^2 - (R - r)^2} = \sqrt{4Rr} = 2\sqrt{Rr}. \end{aligned}\]

Диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен её высоте, поэтому радиус сферы равен \(\frac{A_1P}{2} = \sqrt{Rr}\).

Ответ: \(\sqrt{Rr}\).