Страница 150 номер 16.17, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
конус вписан в сферу с центром \(O\)
плоскость проходит через \(O\) параллельно основанию конуса
площади боковых поверхностей образовавшихся конуса и усечённого конуса равны

Найти: \(\varphi\) — угол между образующими в осевом сечении конуса.

Решение: Пусть \(S\) — вершина конуса, \(O_1\) — центр его основания, \(SAB\) — осевое сечение, \(\angle ASB = \varphi\), \(O_1A = r\), \(SA = l\), \(R\) — радиус сферы. Центр \(O\) сферы, описанной около конуса, принадлежит оси \(SO_1\). Плоскость, параллельная основанию, делит конус на конус и усечённый конус, только если пересекает высоту \(SO_1\) во внутренней точке; значит, центр \(O\) лежит между \(S\) и \(O_1\). Точки \(S\) и \(A\) лежат на сфере, поэтому \(OS = OA = R\).

Секущая плоскость параллельна основанию, поэтому ось \(SO_1\), перпендикулярная плоскости основания, перпендикулярна и секущей плоскости; секущая плоскость пересекает конус по кругу, центр которого лежит на оси, то есть по кругу с центром \(O\). Пусть \(K\) и \(L\) — точки пересечения секущей плоскости с образующими \(SA\) и \(SB\). Образовавшийся конус имеет вершину \(S\), радиус основания \(OK\) и образующую \(SK\); у усечённого конуса радиусы оснований \(r\) и \(OK\), образующая \(KA\).

Прямоугольные треугольники \(SOK\) и \(SO_1A\) подобны (угол \(S\) общий); пусть \(k = \frac{SO}{SO_1}\) — коэффициент подобия. Тогда \(OK = kr\), \(SK = kl\), \(KA = l - kl\). Площадь боковой поверхности образовавшегося конуса равна \(\pi \cdot kr \cdot kl = \pi k^2rl\), а усечённого конуса — \(\pi(r + kr)(l - kl) = \pi rl(1 + k)(1 - k) = \pi rl(1 - k^2)\). По условию эти площади равны: \[\begin{aligned} \pi k^2rl &= \pi rl(1 - k^2); \qquad | : \pi rl \\ k^2 &= 1 - k^2; \\ 2k^2 &= 1; \qquad | : 2 \\ k^2 &= \frac{1}{2}. \end{aligned}\]

Значит, \(k = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(SO_1 = \frac{SO}{k} = R\sqrt{2}\) и \(OO_1 = SO_1 - SO = R\sqrt{2} - R = R(\sqrt{2} - 1)\).

Треугольник \(SOA\) равнобедренный (\(OS = OA = R\)), а высота \(SO_1\) равнобедренного треугольника \(SAB\) является его биссектрисой, поэтому \(\angle OAS = \angle OSA = \frac{\varphi}{2}\). Точка \(O\) лежит между \(S\) и \(O_1\), поэтому угол \(AOO_1\) — внешний угол треугольника \(SOA\): \(\angle AOO_1 = \angle OSA + \angle OAS = \varphi\).

Из прямоугольного треугольника \(AO_1O\) (\(\angle AO_1O = 90^\circ\)): \(\cos\varphi = \frac{OO_1}{OA} = \frac{R(\sqrt{2} - 1)}{R} = \sqrt{2} - 1\), откуда \(\varphi = \arccos(\sqrt{2} - 1)\).

Ответ: \(\arccos(\sqrt{2} - 1)\).