Страница 149 номер 16.14, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дано:
конус вписан в сферу радиуса \(R\)
\(\alpha\) — угол между образующей конуса и плоскостью его основания
одно основание цилиндра лежит в основании конуса, окружность другого — на боковой поверхности конуса
осевое сечение цилиндра — квадрат
Найти: \(S_{\text{полн}}\) — площадь полной поверхности цилиндра.
Решение: Пусть \(S\) — вершина конуса, \(O_1\) — центр его основания, \(SAB\) — осевое сечение конуса (\(AB\) — диаметр основания), \(O\) — центр сферы. Центр сферы, описанной около конуса, принадлежит оси конуса, а радиус сферы равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения конуса; значит, радиус окружности, описанной около треугольника \(SAB\), равен \(R\).
Высота \(SO_1\) перпендикулярна плоскости основания, поэтому \(O_1A\) — проекция образующей \(SA\) на эту плоскость, и \(\angle SAO_1 = \alpha\). Треугольник \(SAB\) равнобедренный (\(SA = SB\)), поэтому \(\angle SBA = \angle SAB = \alpha\) и \(\angle ASB = 180^\circ - 2\alpha\). По теореме синусов \(AB = 2R\sin\angle ASB = 2R\sin(180^\circ - 2\alpha) = 2R\sin 2\alpha\), поэтому радиус основания конуса \(O_1A = \frac{AB}{2} = R\sin 2\alpha\).
Пусть \(x\) — радиус основания цилиндра; его образующая равна \(2x\), так как осевое сечение цилиндра — квадрат. Основания цилиндра лежат в параллельных плоскостях, одно из них — в плоскости основания конуса, поэтому плоскость другого (верхнего) основания параллельна основанию конуса. Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, — круг с центром на оси конуса; окружность верхнего основания цилиндра лежит в этой плоскости и на боковой поверхности конуса, то есть совпадает с окружностью этого сечения, и её центр лежит на оси \(SO_1\). Ось цилиндра проходит через этот центр перпендикулярно плоскости основания конуса, а через точку проходит только одна прямая, перпендикулярная плоскости, поэтому ось цилиндра — прямая \(SO_1\).
Плоскость \(SAB\) проходит через ось цилиндра и пересекает его по осевому сечению — квадрату \(KLMN\) со стороной \(2x\): вершины \(K\) и \(L\) лежат на диаметре \(AB\), а вершины \(N\) и \(M\) — на окружности верхнего основания цилиндра, то есть на боковой поверхности конуса в плоскости \(SAB\) — на образующих \(SA\) и \(SB\); \(O_1K = x\).
Образующая \(NK\) цилиндра перпендикулярна плоскости основания конуса, поэтому треугольник \(AKN\) прямоугольный, \(\angle NAK = \alpha\), \(AK = O_1A - O_1K = R\sin 2\alpha - x\) и \(NK = AK\operatorname{tg}\alpha\): \[\begin{aligned} 2x &= (R\sin 2\alpha - x)\operatorname{tg}\alpha; \\ x(2 + \operatorname{tg}\alpha) &= R\sin 2\alpha\operatorname{tg}\alpha; \qquad | : (2 + \operatorname{tg}\alpha) \\ x &= \frac{R\sin 2\alpha\operatorname{tg}\alpha}{2 + \operatorname{tg}\alpha}; \\ S_{\text{полн}} &= 2\pi x \cdot 2x + 2\pi x^2 = 6\pi x^2 = \frac{6\pi R^2\sin^2 2\alpha\operatorname{tg}^2\alpha}{(2 + \operatorname{tg}\alpha)^2}. \end{aligned}\]
Умножив числитель и знаменатель на \(\cos^2\alpha\), получим \(S_{\text{полн}} = \frac{6\pi R^2\sin^2\alpha\sin^2 2\alpha}{(2\cos\alpha + \sin\alpha)^2}\).
Ответ: \(\frac{6\pi R^2\sin^2\alpha\sin^2 2\alpha}{(2\cos\alpha + \sin\alpha)^2}\).
Дано:
конус вписан в сферу радиуса \(R\)
\(\alpha\) — угол между образующей конуса и плоскостью его основания
одно основание цилиндра лежит в основании конуса, окружность другого — на боковой поверхности конуса
осевое сечение цилиндра — квадрат
Найти: \(S_{\text{полн}}\) — площадь полной поверхности цилиндра.
Решение: Пусть \(S\) — вершина конуса, \(O_1\) — центр его основания, \(SAB\) — осевое сечение конуса (\(AB\) — диаметр основания), \(O\) — центр сферы. Центр сферы, описанной около конуса, принадлежит оси конуса, а радиус сферы равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения конуса; значит, радиус окружности, описанной около треугольника \(SAB\), равен \(R\).
Высота \(SO_1\) перпендикулярна плоскости основания, поэтому \(O_1A\) — проекция образующей \(SA\) на эту плоскость, и \(\angle SAO_1 = \alpha\). Треугольник \(SAB\) равнобедренный (\(SA = SB\)), поэтому \(\angle SBA = \angle SAB = \alpha\) и \(\angle ASB = 180^\circ - 2\alpha\). По теореме синусов \(AB = 2R\sin\angle ASB = 2R\sin(180^\circ - 2\alpha) = 2R\sin 2\alpha\), поэтому радиус основания конуса \(O_1A = \frac{AB}{2} = R\sin 2\alpha\).
Пусть \(x\) — радиус основания цилиндра; его образующая равна \(2x\), так как осевое сечение цилиндра — квадрат. Основания цилиндра лежат в параллельных плоскостях, одно из них — в плоскости основания конуса, поэтому плоскость другого (верхнего) основания параллельна основанию конуса. Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, — круг с центром на оси конуса; окружность верхнего основания цилиндра лежит в этой плоскости и на боковой поверхности конуса, то есть совпадает с окружностью этого сечения, и её центр лежит на оси \(SO_1\). Ось цилиндра проходит через этот центр перпендикулярно плоскости основания конуса, а через точку проходит только одна прямая, перпендикулярная плоскости, поэтому ось цилиндра — прямая \(SO_1\).
Плоскость \(SAB\) проходит через ось цилиндра и пересекает его по осевому сечению — квадрату \(KLMN\) со стороной \(2x\): вершины \(K\) и \(L\) лежат на диаметре \(AB\), а вершины \(N\) и \(M\) — на окружности верхнего основания цилиндра, то есть на боковой поверхности конуса в плоскости \(SAB\) — на образующих \(SA\) и \(SB\); \(O_1K = x\).
Образующая \(NK\) цилиндра перпендикулярна плоскости основания конуса, поэтому треугольник \(AKN\) прямоугольный, \(\angle NAK = \alpha\), \(AK = O_1A - O_1K = R\sin 2\alpha - x\) и \(NK = AK\operatorname{tg}\alpha\): \[\begin{aligned} 2x &= (R\sin 2\alpha - x)\operatorname{tg}\alpha; \\ x(2 + \operatorname{tg}\alpha) &= R\sin 2\alpha\operatorname{tg}\alpha; \qquad | : (2 + \operatorname{tg}\alpha) \\ x &= \frac{R\sin 2\alpha\operatorname{tg}\alpha}{2 + \operatorname{tg}\alpha}. \end{aligned}\]
Площадь полной поверхности цилиндра с радиусом основания \(x\) и образующей \(2x\): \[S_{\text{полн}} = 2\pi x \cdot 2x + 2\pi x^2 = 6\pi x^2 = \frac{6\pi R^2\sin^2 2\alpha\operatorname{tg}^2\alpha}{(2 + \operatorname{tg}\alpha)^2}.\]
Умножив числитель и знаменатель на \(\cos^2\alpha\), получим \(S_{\text{полн}} = \frac{6\pi R^2\sin^2\alpha\sin^2 2\alpha}{(2\cos\alpha + \sin\alpha)^2}\).
Ответ: \(\frac{6\pi R^2\sin^2\alpha\sin^2 2\alpha}{(2\cos\alpha + \sin\alpha)^2}\).
