Страница 154 номер 17.8, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
усечённый конус, \(O_1\) и \(O_2\) — центры оснований
\(4\) см и \(3\) см — радиусы оснований с центрами \(O_1\) и \(O_2\)
шар с центром \(O\) вписан в усечённый конус

Найти: \(S_{\text{бок}}\) — площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Решение: Плоскость, проходящая через ось \(O_1O_2\) усечённого конуса и центр \(O\) шара, пересекает усечённый конус по осевому сечению \(ABB_1A_1\) — равнобокой трапеции, основания \(AB\) и \(A_1B_1\) которой — диаметры оснований усечённого конуса, а боковые стороны \(AA_1\) и \(BB_1\) — образующие; \(O_1A = 4\) см, \(O_2A_1 = 3\) см, \(AB = 8\) см, \(A_1B_1 = 6\) см. Эта плоскость перпендикулярна основаниям и потому содержит перпендикуляры, опущенные из центра шара на их плоскости, то есть точки касания шара с основаниями; она пересекает шар по большому кругу, а лежащие в ней образующие \(AA_1\), \(BB_1\) и диаметры \(AB\), \(A_1B_1\) оснований касаются шара, поэтому окружность этого круга вписана в осевое сечение \(ABB_1A_1\).

Поскольку в трапецию \(ABB_1A_1\) вписана окружность, суммы её противолежащих сторон равны: \(AA_1 + BB_1 = AB + A_1B_1 = 8 + 6 = 14\) (см). Боковые стороны равнобокой трапеции равны, поэтому образующая усечённого конуса \(AA_1 = 7\) см.

По формуле площади боковой поверхности усечённого конуса \(S_{\text{бок}} = \pi (O_1A + O_2A_1) \cdot AA_1 = \pi \cdot (4 + 3) \cdot 7 = 49\pi\) (см\(^2\)).

Ответ: \(49\pi\) см\(^2\).