Страница 109 номер 11.19, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(KABCD\) — пирамида
\(ABCD\) — ромб, \(AB = a\), \(\angle BAD = \alpha\)
двугранные углы при рёбрах основания — \(\beta\)
пирамида описана около конуса

Найти: площадь осевого сечения конуса.

Решение: Пирамида описана около конуса: вершина \(K\) пирамиды совпадает с вершиной конуса, а окружность основания конуса с центром \(O\) и радиусом \(r\) вписана в ромб \(ABCD\); \(KO\) — высота конуса, \(KO \perp ABC\).

Пусть окружность основания касается сторон \(BC\) и \(AD\) в точках \(M\) и \(N\). Радиусы \(OM\) и \(ON\), проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным — параллельным прямым \(BC\) и \(AD\), а в плоскости ромба через точку \(O\) проходит только одна прямая, перпендикулярная им, поэтому точки \(M\), \(O\), \(N\) лежат на одной прямой, и отрезок \(MN = 2r\) равен расстоянию между прямыми \(BC\) и \(AD\), то есть высоте ромба. Площадь ромба \(S_{ABCD} = AB \cdot AD\sin\angle BAD = a^2\sin\alpha\), и \(S_{ABCD} = AD \cdot MN\), поэтому \(MN = a\sin\alpha\), а \(r = \frac{a\sin\alpha}{2}\).

\(OM \perp BC\), а \(OM\) — проекция наклонной \(KM\) на плоскость основания, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах \(KM \perp BC\). Значит, угол \(KMO\) — линейный угол двугранного угла при ребре \(BC\): \(\angle KMO = \beta\).

Из прямоугольного треугольника \(KOM\) (\(\angle KOM = 90^\circ\)): \(KO = OM\operatorname{tg}\beta = \frac{a\sin\alpha\operatorname{tg}\beta}{2}\).

Осевое сечение конуса — сечение плоскостью, проходящей через ось \(KO\), — равнобедренный треугольник с основанием \(2r\) (диаметр основания конуса) и высотой \(KO\): прямая \(KO\) перпендикулярна плоскости основания, а значит, и этому диаметру. Площадь осевого сечения:

\[\begin{aligned} &S = \frac{1}{2} \cdot 2r \cdot KO = \frac{a\sin\alpha}{2} \cdot \frac{a\sin\alpha\operatorname{tg}\beta}{2} = {} \\ &= \frac{1}{4}a^2\sin^2\alpha\operatorname{tg}\beta. \end{aligned}\]

Ответ: \(\frac{1}{4}a^2\sin^2\alpha\operatorname{tg}\beta\).