Страница 110 номер 11.30, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
конус: радиус основания \(13\) см, высота \(15\) см
\(DABC\) — пирамида, вписанная в конус
\(AB = 24\) см
\(CK = 10\) см — высота треугольника \(ABC\)

Найти: расстояние между прямыми \(AB\) и \(CD\).

Решение: Пирамида вписана в конус: треугольник \(ABC\) вписан в окружность основания конуса, а вершина \(D\) — вершина конуса. Пусть \(O\) — центр основания; высота конуса \(DO = 15\) см перпендикулярна плоскости основания, \(OA = OB = OC = 13\) см.

Пусть \(E\) — середина хорды \(AB\). Хорда \(AB\) короче диаметра \(26\) см, поэтому центр \(O\) на ней не лежит и \(OE \perp AB\); из прямоугольного треугольника \(OEA\): \(OE = \sqrt{OA^2 - AE^2} = \sqrt{169 - 144} = 5\) (см).

Вершина \(C\) лежит по ту же сторону от прямой \(AB\), что и центр \(O\). Действительно, точка окружности, лежащая по другую сторону от \(AB\), удалена от прямой \(AB\) на \(5\) см меньше, чем от параллельной ей прямой, проходящей через центр, а это расстояние не больше радиуса; значит, такая точка удалена от \(AB\) не больше чем на \(13 - 5 = 8\) см, а \(CK = 10\) см.

Проведём через \(C\) прямую, параллельную \(AB\). Она удалена от \(AB\) на \(CK = 10\) см и лежит по ту же сторону от \(AB\), что и \(O\), поэтому удалена от \(O\) на \(10 - 5 = 5\) см и пересекает окружность основания ещё в одной точке \(C_1\). Пусть \(F\) — основание перпендикуляра, опущенного из \(O\) на \(CC_1\), то есть середина хорды \(CC_1\): \(OF = 5\) см. Прямая \(OF\) перпендикулярна и прямой \(AB\), а в плоскости основания через точку \(O\) проходит только одна прямая, перпендикулярная \(AB\), поэтому \(OF\) совпадает с прямой \(OE\): точки \(E\), \(O\), \(F\) лежат на одной прямой, перпендикулярной параллельным прямым \(AB\) и \(CC_1\), и \(EF = CK = 10\) см. Кроме того, \(CF = \sqrt{OC^2 - OF^2} = 12\) см, а четырёхугольник \(CKEF\) — прямоугольник, поэтому \(EK = CF = 12\) см, то есть \(EK = EA = EB\): основание \(K\) высоты \(CK\) совпадает с концом хорды \(AB\); пусть это точка \(A\).

Прямая \(AB\) лежит в плоскости основания, а прямая \(CD\) пересекает эту плоскость в точке \(C\), не лежащей на \(AB\), поэтому \(AB\) и \(CD\) — скрещивающиеся прямые. Прямая \(AB\) параллельна прямой \(CC_1\) плоскости \(DCC_1\) и не лежит в этой плоскости (иначе плоскость \(DCC_1\) совпала бы с плоскостью основания, а точка \(D\) ей не принадлежит), поэтому прямая \(AB\) параллельна плоскости \(DCC_1\), проходящей через \(CD\). Значит, расстояние между прямыми \(AB\) и \(CD\) равно расстоянию от прямой \(AB\) до плоскости \(DCC_1\), то есть расстоянию от точки \(E\) до этой плоскости.

Прямая \(CC_1\) перпендикулярна пересекающимся прямым \(OF\) и \(DO\) (прямая \(DO\) перпендикулярна плоскости основания), поэтому \(CC_1 \perp DOF\); точка \(E\) лежит на прямой \(OF\), то есть в плоскости \(DOF\). Проведём в этой плоскости \(EH \perp DF\). Прямая \(EH\) перпендикулярна прямым \(DF\) и \(CC_1\), пересекающимся в точке \(F\), поэтому \(EH \perp DCC_1\) и длина \(EH\) — искомое расстояние.

Из прямоугольного треугольника \(DOF\): \(DF = \sqrt{DO^2 + OF^2} = \sqrt{225 + 25} = 5\sqrt{10}\) (см). Отрезки \(DO\) и \(EH\) — высоты треугольника \(DEF\), проведённые к прямым \(EF\) и \(DF\), поэтому \(EF \cdot DO = DF \cdot EH\) — удвоенная площадь этого треугольника.

\[EH = \frac{EF \cdot DO}{DF} = \frac{10 \cdot 15}{5\sqrt{10}} = \frac{30}{\sqrt{10}} = 3\sqrt{10} \text{ (см)}.\]

Ответ: \(3\sqrt{10}\) см.