Страница 108 номер 11.8, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна \(a\), а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду.
Дано:
\(KABC\) — правильная пирамида
\(AB = a\)
двугранный угол пирамиды при ребре основания — \(\alpha\)
конус вписан в пирамиду
Найти: \(S_{\text{бок}}\) конуса.
Решение: Пирамида правильная, поэтому её основание \(ABC\) — правильный треугольник, а основание \(O\) высоты \(KO\) — его центр, то есть центр вписанной в него окружности. Конус вписан в пирамиду, значит, вершина \(K\) совпадает с вершиной конуса, а основание конуса — круг с центром \(O\), ограниченный окружностью, вписанной в треугольник \(ABC\).
Пусть эта окружность касается стороны \(AB\) в точке \(M\). Радиус \(OM\), проведённый в точку касания, перпендикулярен \(AB\), а \(OM\) — проекция наклонной \(KM\) на плоскость основания, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах \(KM \perp AB\). Следовательно, угол \(KMO\) — линейный угол двугранного угла при ребре \(AB\): \(\angle KMO = \alpha\). Отрезок \(KM\) соединяет вершину конуса с точкой окружности основания, поэтому \(KM\) — образующая конуса.
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной \(a\): \(r = OM = \frac{a\sqrt{3}}{6}\).
Из прямоугольного треугольника \(KOM\) (\(\angle KOM = 90^\circ\)): \(l = KM = \frac{OM}{\cos \alpha} = \frac{a\sqrt{3}}{6\cos \alpha}\).
\[S_{\text{бок}} = \pi rl = \pi \cdot \frac{a\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{6\cos \alpha} = \frac{\pi a^2}{12\cos \alpha}.\]
Ответ: \(\frac{\pi a^2}{12\cos \alpha}\).
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна \(a\), а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду.
Дано:
\(KABC\) — правильная пирамида
\(AB = a\)
двугранный угол пирамиды при ребре основания — \(\alpha\)
конус вписан в пирамиду
Найти: \(S_{\text{бок}}\) конуса.
Решение: Пирамида правильная, поэтому её основание \(ABC\) — правильный треугольник, а основание \(O\) высоты \(KO\) — его центр, то есть центр вписанной в него окружности. Конус вписан в пирамиду, значит, треугольник \(ABC\) описан около основания конуса, а вершина \(K\) совпадает с вершиной конуса. Поэтому основание конуса — круг с центром \(O\), ограниченный окружностью, вписанной в треугольник \(ABC\).
Пусть эта окружность касается стороны \(AB\) в точке \(M\). Радиус \(OM\), проведённый в точку касания, перпендикулярен \(AB\), а \(OM\) — проекция наклонной \(KM\) на плоскость основания, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах \(KM \perp AB\). Следовательно, угол \(KMO\) — линейный угол двугранного угла при ребре \(AB\): \(\angle KMO = \alpha\). Отрезок \(KM\) соединяет вершину конуса с точкой окружности основания, поэтому \(KM\) — образующая конуса.
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной \(a\): \(r = OM = \frac{a\sqrt{3}}{6}\).
Из прямоугольного треугольника \(KOM\) (\(\angle KOM = 90^\circ\)): \(l = KM = \frac{OM}{\cos \alpha} = \frac{a\sqrt{3}}{6\cos \alpha}\).
\[S_{\text{бок}} = \pi rl = \pi \cdot \frac{a\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{6\cos \alpha} = \frac{\pi a^2}{12\cos \alpha}.\]
Ответ: \(\frac{\pi a^2}{12\cos \alpha}\).
