Страница 108 номер 11.10, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(KABCD\) — правильная пирамида
пирамида описана около конуса
\(AB = a\)
угол между боковым ребром и плоскостью основания — \(\alpha\)

Найти: \(S_{\text{бок}}\) конуса.

Решение: Пирамида правильная, поэтому её основание \(ABCD\) — квадрат, а основание \(O\) высоты \(KO\) — центр квадрата, то есть точка пересечения его диагоналей и центр вписанной в него окружности. Пирамида описана около конуса: квадрат \(ABCD\) описан около основания конуса, а вершина \(K\) совпадает с вершиной конуса. Поэтому основание конуса — круг с центром \(O\), ограниченный окружностью, вписанной в квадрат, а \(KO\) — высота конуса.

Пусть эта окружность касается стороны \(AB\) в точке \(M\). Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны: \(r = OM = \frac{a}{2}\). Отрезок \(KM\) соединяет вершину конуса с точкой окружности основания, поэтому \(KM\) — образующая конуса: \(l = KM\).

Отрезок \(OA\) — проекция бокового ребра \(KA\) на плоскость основания, поэтому угол между ребром \(KA\) и плоскостью основания — это угол \(KAO\): \(\angle KAO = \alpha\). Отрезок \(OA\) — половина диагонали квадрата: \(OA = \frac{a\sqrt{2}}{2}\).

Из прямоугольного треугольника \(KOA\) (\(\angle KOA = 90^\circ\)): \(KO = OA \operatorname{tg} \alpha = \frac{a\sqrt{2} \sin \alpha}{2\cos \alpha}\).

Из прямоугольного треугольника \(KOM\) (\(\angle KOM = 90^\circ\)): \[\begin{aligned} &KM^2 = KO^2 + OM^2 = \frac{a^2 \sin^2 \alpha}{2\cos^2 \alpha} + \frac{a^2}{4} = {} \\ &= \frac{a^2(2\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)}{4\cos^2 \alpha} = \frac{a^2(2 - \cos^2 \alpha)}{4\cos^2 \alpha}. \end{aligned}\]

Значит, \(l = KM = \frac{a\sqrt{2 - \cos^2 \alpha}}{2\cos \alpha}\).

\[\begin{aligned} &S_{\text{бок}} = \pi rl = \pi \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a\sqrt{2 - \cos^2 \alpha}}{2\cos \alpha} = {} \\ &= \frac{\pi a^2\sqrt{2 - \cos^2 \alpha}}{4\cos \alpha}. \end{aligned}\]

Ответ: \(\frac{\pi a^2\sqrt{2 - \cos^2 \alpha}}{4\cos \alpha}\).