Страница 108 номер 11.16, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Докажите, что если в пирамиду \(MABCD\) можно вписать конус, то сумма площадей граней \(AMB\) и \(CMD\) равна сумме площадей граней \(AMD\) и \(BMC\).
Пусть конус вписан в пирамиду \(MABCD\), \(O\) — центр основания конуса, а \(E\), \(F\), \(G\), \(H\) — точки касания окружности основания со сторонами \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\). Отрезки \(ME\), \(MF\), \(MG\), \(MH\) соединяют вершину конуса с точками окружности основания, то есть являются образующими конуса, а все образующие конуса равны: \(ME = MF = MG = MH = l\).
Высота конуса \(MO\) перпендикулярна плоскости основания, \(OE \perp AB\) (радиус, проведённый в точку касания), а \(OE\) — проекция наклонной \(ME\) на плоскость основания. По теореме о трёх перпендикулярах \(ME \perp AB\), то есть \(ME\) — высота грани \(AMB\). Так же \(MF \perp BC\), \(MG \perp CD\) и \(MH \perp DA\). Значит,
\[\begin{aligned} S_{AMB} + S_{CMD} &= \frac{1}{2}AB \cdot l + \frac{1}{2}CD \cdot l = \frac{1}{2}l(AB + CD); \\ S_{AMD} + S_{BMC} &= \frac{1}{2}AD \cdot l + \frac{1}{2}BC \cdot l = \frac{1}{2}l(AD + BC). \end{aligned}\]
Четырёхугольник \(ABCD\) описан около окружности, поэтому суммы его противолежащих сторон равны: \(AB + CD = AD + BC\). Следовательно, \(S_{AMB} + S_{CMD} = S_{AMD} + S_{BMC}\).
Ответ: сумма площадей граней \(AMB\) и \(CMD\) равна сумме площадей граней \(AMD\) и \(BMC\).
Докажите, что если в пирамиду \(MABCD\) можно вписать конус, то сумма площадей граней \(AMB\) и \(CMD\) равна сумме площадей граней \(AMD\) и \(BMC\).
Пусть конус вписан в пирамиду \(MABCD\): вершина \(M\) пирамиды совпадает с вершиной конуса, а основание \(ABCD\) описано около основания конуса. Пусть \(O\) — центр основания конуса, а \(E\), \(F\), \(G\), \(H\) — точки касания окружности основания со сторонами \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\). Отрезки \(ME\), \(MF\), \(MG\), \(MH\) соединяют вершину конуса с точками окружности основания, то есть являются образующими конуса, а все образующие конуса равны: \(ME = MF = MG = MH = l\).
Высота конуса \(MO\) перпендикулярна плоскости основания, \(OE \perp AB\) (радиус, проведённый в точку касания), а \(OE\) — проекция наклонной \(ME\) на плоскость основания. По теореме о трёх перпендикулярах \(ME \perp AB\), то есть \(ME\) — высота грани \(AMB\). Так же \(MF \perp BC\), \(MG \perp CD\) и \(MH \perp DA\). Значит,
\[\begin{aligned} S_{AMB} + S_{CMD} &= \frac{1}{2}AB \cdot l + \frac{1}{2}CD \cdot l = \frac{1}{2}l(AB + CD); \\ S_{AMD} + S_{BMC} &= \frac{1}{2}AD \cdot l + \frac{1}{2}BC \cdot l = \frac{1}{2}l(AD + BC). \end{aligned}\]
Четырёхугольник \(ABCD\) описан около окружности, поэтому суммы его противолежащих сторон равны: \(AB + CD = AD + BC\). Следовательно, \(S_{AMB} + S_{CMD} = S_{AMD} + S_{BMC}\).
Ответ: сумма площадей граней \(AMB\) и \(CMD\) равна сумме площадей граней \(AMD\) и \(BMC\).
