Страница 113 номер 12.1, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Отрезок \(AB\) — диаметр сферы, \(M\) — произвольная точка сферы. Докажите, что \(\angle AMB = 90^\circ\).
Угол \(AMB\) имеет смысл, когда точка \(M\) отлична от концов диаметра \(A\) и \(B\); рассмотрим такую точку. Пусть \(O\) — центр сферы, \(r\) — её радиус. Диаметр \(AB\) проходит через центр \(O\), а \(OA = OB = r\), поэтому \(O\) — середина отрезка \(AB\). На прямой \(AB\) на расстоянии \(r\) от точки \(O\) лежат только точки \(A\) и \(B\), а точка \(M\) отлична от них и \(OM = r\); значит, точка \(M\) не лежит на прямой \(AB\).
Через точки \(A\), \(M\) и \(B\), не лежащие на одной прямой, проходит плоскость; прямая \(AB\) лежит в этой плоскости (две её точки принадлежат плоскости), поэтому плоскости принадлежит и точка \(O\). В этой плоскости \(OA = OM = OB = r\), то есть точки \(A\), \(M\) и \(B\) лежат на окружности с центром \(O\) и радиусом \(r\), а отрезок \(AB\), проходящий через её центр, — диаметр этой окружности. Вписанный угол \(AMB\) опирается на диаметр \(AB\), поэтому он прямой: \(\angle AMB = 90^\circ\).
Ответ: для любой точки \(M\) сферы, отличной от концов диаметра \(AB\), угол \(AMB\) прямой: \(\angle AMB = 90^\circ\).
