Страница 109 номер 11.18, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(KABCD\) — правильная пирамида
двугранный угол при ребре основания — \(\beta\)
расстояние от центра основания до боковой грани — \(d\)
конус вписан в пирамиду

Найти: площадь осевого сечения конуса.

Решение: Конус вписан в пирамиду: вершина \(K\) пирамиды совпадает с вершиной конуса, а окружность основания конуса вписана в квадрат \(ABCD\). Её центр \(O\) — центр квадрата, \(KO\) — высота конуса, \(KO \perp ABC\). Пусть \(M\) — точка касания стороны \(AB\) с окружностью основания конуса, \(r = OM\) — радиус основания конуса.

\(OM \perp AB\) (радиус, проведённый в точку касания), а \(OM\) — проекция наклонной \(KM\) на плоскость основания, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах \(KM \perp AB\). Значит, угол \(KMO\) — линейный угол двугранного угла при ребре \(AB\): \(\angle KMO = \beta\).

Прямая \(AB\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(OM\) и \(KM\) плоскости \(KOM\), поэтому \(AB \perp KOM\). Проведём высоту \(OF\) прямоугольного треугольника \(KOM\) к гипотенузе \(KM\). Прямая \(OF\) лежит в плоскости \(KOM\), поэтому \(OF \perp AB\); кроме того, \(OF \perp KM\). Значит, прямая \(OF\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(AB\) и \(KM\) плоскости \(KAB\), то есть \(OF \perp KAB\), и \(OF = d\) — расстояние от центра основания до боковой грани \(KAB\).

Точка \(F\) лежит на отрезке \(MK\), поэтому \(\angle OMF = \angle KMO = \beta\). Из прямоугольного треугольника \(OFM\) (\(\angle OFM = 90^\circ\)): \(r = OM = \frac{OF}{\sin\beta} = \frac{d}{\sin\beta}\). Из прямоугольного треугольника \(KOM\) (\(\angle KOM = 90^\circ\)): \(KO = OM\operatorname{tg}\beta = \frac{d}{\sin\beta} \cdot \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{d}{\cos\beta}\).

Осевое сечение конуса — сечение плоскостью, проходящей через ось \(KO\), — равнобедренный треугольник, основание которого — диаметр основания конуса, равный \(2r\). Прямая \(KO\) перпендикулярна плоскости основания, а значит, и этому диаметру, поэтому \(KO\) — высота этого треугольника. Площадь осевого сечения:

\[\begin{aligned} &S = \frac{1}{2} \cdot 2r \cdot KO = \frac{d}{\sin\beta} \cdot \frac{d}{\cos\beta} = {} \\ &= \frac{d^2}{\sin\beta\cos\beta} = \frac{2d^2}{2\sin\beta\cos\beta} = \frac{2d^2}{\sin 2\beta}. \end{aligned}\]

Ответ: \(\frac{2d^2}{\sin 2\beta}\).