Страница 110 номер 11.31, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
В правильной пирамиде \(DABC\) сторона основания \(ABC\) равна \(a\), а боковое ребро равно \(2a\). Точки \(D\), \(B\) и \(C\) принадлежат боковой поверхности конуса с вершиной в точке \(A\). Найдите угол между образующими в осевом сечении конуса.
Дано:
\(DABC\) — правильная пирамида
\(AB = BC = CA = a\)
\(DA = DB = DC = 2a\)
точки \(D\), \(B\), \(C\) лежат на боковой поверхности конуса с вершиной \(A\)
Найти: угол между образующими в осевом сечении конуса.
Решение: Все образующие конуса составляют равные углы с плоскостью основания, а ось перпендикулярна этой плоскости, поэтому все образующие составляют с осью один и тот же угол; обозначим его \(\beta\). Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник, высота которого лежит на оси и делит угол при вершине пополам, поэтому угол между образующими в осевом сечении равен \(2\beta\).
Боковая поверхность конуса составлена из образующих, поэтому отрезки \(AD\), \(AB\) и \(AC\) лежат на образующих. На лучах \(AB\) и \(AC\) отметим точки \(B_1\) и \(C_1\) так, что \(AB_1 = AC_1 = 2a\). Из каждой из точек \(D\), \(B_1\), \(C_1\) опустим перпендикуляр на ось: получим прямоугольные треугольники с гипотенузой \(2a\) и острым углом \(\beta\) при вершине \(A\). Эти треугольники равны, поэтому все три перпендикуляра падают в одну и ту же точку \(O_1\) оси и имеют одну и ту же длину \(R\). Значит, точки \(D\), \(B_1\), \(C_1\) лежат на окружности с центром \(O_1\) и радиусом \(R\) в плоскости, перпендикулярной оси, и эта окружность описана около треугольника \(DB_1C_1\).
Треугольник \(AB_1C_1\) равносторонний: \(AB_1 = AC_1 = 2a\), \(\angle B_1AC_1 = \angle BAC = 60^\circ\); значит, \(B_1C_1 = 2a\). В равнобедренном треугольнике \(ADB\) (\(DA = DB = 2a\), \(AB = a\)) высота, проведённая из вершины \(D\), делит \(AB\) пополам, поэтому \(\cos\angle DAB = \frac{a}{2} : 2a = \frac{1}{4}\). Точка \(B_1\) лежит на луче \(AB\), поэтому \(\angle DAB_1 = \angle DAB\), и по теореме косинусов в треугольнике \(DAB_1\):
\[\begin{aligned} &DB_1^2 = AD^2 + AB_1^2 - 2 \cdot AD \cdot AB_1 \cdot \cos\angle DAB_1 = {} \\ &= 4a^2 + 4a^2 - 2 \cdot 2a \cdot 2a \cdot \frac{1}{4} = 6a^2. \end{aligned}\]
Значит, \(DB_1 = a\sqrt{6}\); так же из треугольников \(ADC\) и \(DAC_1\) получаем \(DC_1 = a\sqrt{6}\). Пусть \(N\) — середина \(B_1C_1\); в равнобедренном треугольнике \(DB_1C_1\) высота \(DN = \sqrt{DB_1^2 - B_1N^2} = \sqrt{6a^2 - a^2} = a\sqrt{5}\), а площадь \(S_{DB_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot a\sqrt{5} = a^2\sqrt{5}\).
\[R = \frac{DB_1 \cdot DC_1 \cdot B_1C_1}{4S_{DB_1C_1}} = \frac{a\sqrt{6} \cdot a\sqrt{6} \cdot 2a}{4a^2\sqrt{5}} = \frac{3a}{\sqrt{5}} = \frac{3a\sqrt{5}}{5}.\]
В прямоугольном треугольнике \(AO_1D\) гипотенуза \(AD = 2a\), катет \(O_1D = R\) и \(\angle O_1AD = \beta\), поэтому \(\sin\beta = \frac{R}{2a} = \frac{3\sqrt{5}}{10}\).
Угол \(\beta\) острый, поэтому \(\beta = \arcsin\frac{3\sqrt{5}}{10}\), и угол между образующими в осевом сечении равен \(2\beta = 2\arcsin\frac{3\sqrt{5}}{10}\); этот угол острый, так как \(\frac{3\sqrt{5}}{10} < \frac{\sqrt{2}}{2}\) (квадраты: \(\frac{45}{100} < \frac{1}{2}\)), то есть \(\beta < 45^\circ\).
Ответ: \(2\arcsin\frac{3\sqrt{5}}{10}\).
В правильной пирамиде \(DABC\) сторона основания \(ABC\) равна \(a\), а боковое ребро равно \(2a\). Точки \(D\), \(B\) и \(C\) принадлежат боковой поверхности конуса с вершиной в точке \(A\). Найдите угол между образующими в осевом сечении конуса.
Дано:
\(DABC\) — правильная пирамида
\(AB = BC = CA = a\)
\(DA = DB = DC = 2a\)
точки \(D\), \(B\), \(C\) лежат на боковой поверхности конуса с вершиной \(A\)
Найти: угол между образующими в осевом сечении конуса.
Решение: Все образующие конуса составляют равные углы с плоскостью основания, а ось перпендикулярна этой плоскости, поэтому все образующие составляют с осью один и тот же угол; обозначим его \(\beta\). Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник, высота которого лежит на оси и делит угол при вершине пополам, поэтому угол между образующими в осевом сечении равен \(2\beta\).
Боковая поверхность конуса составлена из образующих, поэтому отрезки \(AD\), \(AB\) и \(AC\) лежат на образующих. На лучах \(AB\) и \(AC\) отметим точки \(B_1\) и \(C_1\) так, что \(AB_1 = AC_1 = 2a\). Из каждой из точек \(D\), \(B_1\), \(C_1\) опустим перпендикуляр на ось: получим прямоугольные треугольники с гипотенузой \(2a\) и острым углом \(\beta\) при вершине \(A\). Эти треугольники равны, поэтому все три перпендикуляра падают в одну и ту же точку \(O_1\) оси и имеют одну и ту же длину \(R\). Значит, точки \(D\), \(B_1\), \(C_1\) лежат на окружности с центром \(O_1\) и радиусом \(R\) в плоскости, перпендикулярной оси, и эта окружность описана около треугольника \(DB_1C_1\).
Треугольник \(AB_1C_1\) равносторонний: \(AB_1 = AC_1 = 2a\), \(\angle B_1AC_1 = \angle BAC = 60^\circ\); значит, \(B_1C_1 = 2a\). В равнобедренном треугольнике \(ADB\) (\(DA = DB = 2a\), \(AB = a\)) высота, проведённая из вершины \(D\), делит \(AB\) пополам, поэтому \(\cos\angle DAB = \frac{a}{2} : 2a = \frac{1}{4}\). Точка \(B_1\) лежит на луче \(AB\), поэтому \(\angle DAB_1 = \angle DAB\), и по теореме косинусов в треугольнике \(DAB_1\):
\[\begin{aligned} &DB_1^2 = AD^2 + AB_1^2 - 2 \cdot AD \cdot AB_1 \cdot \cos\angle DAB_1 = {} \\ &= 4a^2 + 4a^2 - 2 \cdot 2a \cdot 2a \cdot \frac{1}{4} = 6a^2. \end{aligned}\]
Значит, \(DB_1 = a\sqrt{6}\); так же из треугольников \(ADC\) и \(DAC_1\) получаем \(DC_1 = a\sqrt{6}\). Пусть \(N\) — середина \(B_1C_1\); в равнобедренном треугольнике \(DB_1C_1\) высота \(DN = \sqrt{DB_1^2 - B_1N^2} = \sqrt{6a^2 - a^2} = a\sqrt{5}\), а площадь \(S_{DB_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot a\sqrt{5} = a^2\sqrt{5}\).
Радиус окружности, описанной около треугольника \(DB_1C_1\):
\[R = \frac{DB_1 \cdot DC_1 \cdot B_1C_1}{4S_{DB_1C_1}} = \frac{a\sqrt{6} \cdot a\sqrt{6} \cdot 2a}{4a^2\sqrt{5}} = \frac{3a}{\sqrt{5}} = \frac{3a\sqrt{5}}{5}.\]
В прямоугольном треугольнике \(AO_1D\) гипотенуза \(AD = 2a\), катет \(O_1D = R\) и \(\angle O_1AD = \beta\), поэтому \(\sin\beta = \frac{R}{2a} = \frac{3\sqrt{5}}{10}\).
Угол \(\beta\) острый, поэтому \(\beta = \arcsin\frac{3\sqrt{5}}{10}\), и угол между образующими в осевом сечении равен \(2\beta = 2\arcsin\frac{3\sqrt{5}}{10}\); этот угол острый, так как \(\frac{3\sqrt{5}}{10} < \frac{\sqrt{2}}{2}\) (квадраты: \(\frac{45}{100} < \frac{1}{2}\)), то есть \(\beta < 45^\circ\).
Ответ: \(2\arcsin\frac{3\sqrt{5}}{10}\).
