Страница 113 номер 12.3, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На сфере с центром \(O\) взяли точки \(A\) и \(B\) такие, что \(AB = 18\) см. Найдите радиус сферы, если расстояние от точки \(O\) до прямой \(AB\) равно 12 см.
Дано:
\(O\) — центр сферы, \(A\) и \(B\) — точки сферы
\(AB = 18\) см
\(OK = 12\) см — расстояние от точки \(O\) до прямой \(AB\) (\(OK \perp AB\))
Найти: \(r\) — радиус сферы.
Решение: Расстояние от точки \(O\) до прямой \(AB\) не равно нулю, поэтому точка \(O\) не лежит на прямой \(AB\). Отрезки \(OA\) и \(OB\) — радиусы сферы, \(OA = OB = r\), поэтому треугольник \(AOB\) равнобедренный с основанием \(AB\). Его высота \(OK\), проведённая к основанию, является медианой: \(AK = \frac{AB}{2} = \frac{18}{2} = 9\) (см).
Из прямоугольного треугольника \(AKO\) по теореме Пифагора: \[r = OA = \sqrt{OK^2 + AK^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = 15 \text{ (см)}.\]
Ответ: 15 см.
