Страница 108 номер 11.11, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Около конуса описана правильная треугольная пирамида, сторона основания которой равна \(a\), а боковое ребро образует с плоскостью основания угол \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Дано:
\(KABC\) — правильная пирамида
\(AB = a\)
угол между боковым ребром и плоскостью основания — \(\alpha\)
пирамида описана около конуса
Найти: \(S_{\text{бок}}\) конуса.
Решение: Пирамида описана около конуса, поэтому её вершина \(K\) совпадает с вершиной конуса, а окружность основания конуса вписана в правильный треугольник \(ABC\). В правильном треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают, поэтому центр \(O\) основания конуса — и центр окружности, описанной около треугольника \(ABC\). Высота конуса \(KO\) перпендикулярна плоскости основания.
Пусть \(M\) — точка касания стороны \(AB\) с окружностью основания конуса. Отрезок \(KM\) соединяет вершину конуса с точкой окружности основания, то есть является образующей конуса: \(l = KM\); радиус основания конуса \(r = OM\).
Радиусы вписанной и описанной окружностей правильного треугольника со стороной \(a\): \(r = OM = \frac{a\sqrt{3}}{6}\), \(OB = \frac{a\sqrt{3}}{3}\).
\(KO \perp ABC\), поэтому \(OB\) — проекция бокового ребра \(KB\) на плоскость основания, и угол между ребром \(KB\) и плоскостью основания — угол \(KBO\): \(\angle KBO = \alpha\). Из прямоугольного треугольника \(KOB\) (\(\angle KOB = 90^\circ\)): \(KB = \frac{OB}{\cos\alpha} = \frac{a\sqrt{3}}{3\cos\alpha}\).
\(OM \perp AB\) (радиус, проведённый в точку касания), а \(OM\) — проекция наклонной \(KM\) на плоскость основания, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах \(KM \perp AB\). Вписанная окружность правильного треугольника касается его сторон в их серединах, поэтому \(BM = \frac{a}{2}\). Из прямоугольного треугольника \(KMB\) (\(\angle KMB = 90^\circ\)):
\[\begin{aligned} &l = KM = \sqrt{KB^2 - BM^2} = \sqrt{\frac{a^2}{3\cos^2\alpha} - \frac{a^2}{4}} = {} \\ &= \sqrt{\frac{a^2(4 - 3\cos^2\alpha)}{12\cos^2\alpha}} = \frac{a\sqrt{4 - 3\cos^2\alpha}}{2\sqrt{3}\cos\alpha}. \end{aligned}\]
По формуле площади боковой поверхности конуса:
\[\begin{aligned} &S_{\text{бок}} = \pi rl = \pi \cdot \frac{a\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{a\sqrt{4 - 3\cos^2\alpha}}{2\sqrt{3}\cos\alpha} = {} \\ &= \frac{\pi a^2\sqrt{4 - 3\cos^2\alpha}}{12\cos\alpha}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{\pi a^2\sqrt{4 - 3\cos^2\alpha}}{12\cos\alpha}\).
Около конуса описана правильная треугольная пирамида, сторона основания которой равна \(a\), а боковое ребро образует с плоскостью основания угол \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Дано:
\(KABC\) — правильная пирамида
\(AB = a\)
угол между боковым ребром и плоскостью основания — \(\alpha\)
пирамида описана около конуса
Найти: \(S_{\text{бок}}\) конуса.
Решение: Пирамида описана около конуса, поэтому её вершина \(K\) совпадает с вершиной конуса, а основание \(ABC\) описано около основания конуса: окружность основания конуса вписана в правильный треугольник \(ABC\). В правильном треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают, поэтому центр \(O\) основания конуса — и центр окружности, описанной около треугольника \(ABC\). Высота конуса \(KO\) перпендикулярна плоскости основания.
Пусть \(M\) — точка касания стороны \(AB\) с окружностью основания конуса. Отрезок \(KM\) соединяет вершину конуса с точкой окружности основания, то есть является образующей конуса: \(l = KM\); радиус основания конуса \(r = OM\).
Радиусы вписанной и описанной окружностей правильного треугольника со стороной \(a\): \(r = OM = \frac{a\sqrt{3}}{6}\), \(OB = \frac{a\sqrt{3}}{3}\).
\(KO \perp ABC\), поэтому \(OB\) — проекция бокового ребра \(KB\) на плоскость основания, и угол между ребром \(KB\) и плоскостью основания — угол \(KBO\): \(\angle KBO = \alpha\). Из прямоугольного треугольника \(KOB\) (\(\angle KOB = 90^\circ\)): \(KB = \frac{OB}{\cos\alpha} = \frac{a\sqrt{3}}{3\cos\alpha}\).
\(OM \perp AB\) (радиус, проведённый в точку касания), а \(OM\) — проекция наклонной \(KM\) на плоскость основания, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах \(KM \perp AB\). Вписанная окружность правильного треугольника касается его сторон в их серединах, поэтому \(BM = \frac{a}{2}\). Из прямоугольного треугольника \(KMB\) (\(\angle KMB = 90^\circ\)):
\[\begin{aligned} &l = KM = \sqrt{KB^2 - BM^2} = \sqrt{\frac{a^2}{3\cos^2\alpha} - \frac{a^2}{4}} = {} \\ &= \sqrt{\frac{a^2(4 - 3\cos^2\alpha)}{12\cos^2\alpha}} = \frac{a\sqrt{4 - 3\cos^2\alpha}}{2\sqrt{3}\cos\alpha}. \end{aligned}\]
По формуле площади боковой поверхности конуса:
\[\begin{aligned} &S_{\text{бок}} = \pi rl = \pi \cdot \frac{a\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{a\sqrt{4 - 3\cos^2\alpha}}{2\sqrt{3}\cos\alpha} = {} \\ &= \frac{\pi a^2\sqrt{4 - 3\cos^2\alpha}}{12\cos\alpha}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{\pi a^2\sqrt{4 - 3\cos^2\alpha}}{12\cos\alpha}\).
