Страница 102 номер 10.25, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCD\) — трапеция, \(AD \parallel BC\)
\(BC = 3\) см, \(AD = 5\) см
одна из диагоналей равна \(8\) см
угол между диагоналями равен \(60^\circ\)

Найти: \(P_{ABCD}\).

Решение: Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей. Проведём через вершину \(C\) прямую, параллельную диагонали \(BD\); она пересекает прямую \(AD\) в точке \(E\). Четырёхугольник \(BCED\) — параллелограмм (\(BC \parallel DE\), \(BD \parallel CE\)), поэтому \(DE = BC = 3\) см, \(CE = BD\), а точка \(E\) лежит на продолжении основания \(AD\) за точку \(D\): \(AE = AD + DE = 8\) см. Угол \(ACE\) равен углу \(AOD\) как соответственный при параллельных прямых \(BD\) и \(CE\) и секущей \(AC\).

Угол между диагоналями равен \(60^\circ\), поэтому \(\angle AOD = 60^\circ\) или \(\angle AOD = 120^\circ\). В треугольнике \(ACE\) стороны \(AC\) и \(CE = BD\) равны диагоналям трапеции: одна из них равна 8 см, другую обозначим \(x\). По теореме косинусов \(AE^2 = AC^2 + CE^2 - 2 \cdot AC \cdot CE \cdot \cos\angle ACE\).

Если \(\angle ACE = 120^\circ\), то \(64 = 64 + x^2 + 8x\), откуда \(x^2 + 8x = 0\), а положительных корней у этого уравнения нет. Этот случай невозможен.

Если \(\angle ACE = 60^\circ\), то \(64 = 64 + x^2 - 8x\), откуда \(x(x - 8) = 0\) и \(x = 8\). Значит, \(AC = CE = AE = 8\) см, треугольник \(ACE\) равносторонний и \(\angle CAD = \angle CEA = 60^\circ\), \(BD = CE = 8\) см, а \(\angle BDA = \angle CEA = 60^\circ\) как соответственные углы при параллельных прямых \(BD\) и \(CE\).

По теореме косинусов в треугольниках \(ACD\) и \(DBA\): \[\begin{aligned} CD^2 &= AC^2 + AD^2 - 2 \cdot AC \cdot AD \cdot \cos 60^\circ = 64 + 25 - 40 = 49; \\ AB^2 &= BD^2 + AD^2 - 2 \cdot BD \cdot AD \cdot \cos 60^\circ = 64 + 25 - 40 = 49. \end{aligned}\]

Значит, \(CD = AB = 7\) см и \(P_{ABCD} = 7 + 3 + 7 + 5 = 22\) (см).

Ответ: 22 см.