Страница 108 номер 11.15, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Основание пирамиды — треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см, а высота пирамиды равна \(\frac{5\sqrt{87}}{8}\) см. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.
Дано:
\(KABC\) — пирамида
\(AB = 13\) см, \(BC = 14\) см, \(AC = 15\) см
высота пирамиды — \(\frac{5\sqrt{87}}{8}\) см
конус описан около пирамиды
Найти: \(S_{\text{бок}}\) конуса.
Решение: Конус описан около пирамиды: вершина \(K\) пирамиды совпадает с вершиной конуса, а окружность основания конуса описана около треугольника \(ABC\); пусть \(O\) — её центр, \(R = OA\) — радиус. Высоты пирамиды и конуса совпадают: \(KO = \frac{5\sqrt{87}}{8}\) см, \(KO \perp ABC\). Боковые рёбра пирамиды, вписанной в конус, являются образующими конуса: \(l = KA\).
По формуле Герона \(S_{ABC} = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)}\), где \(p\) — полупериметр:
\[\begin{aligned} p &= \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21 \text{ (см)}; \\ S_{ABC} &= \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84 \text{ (см}^2\text{)}. \end{aligned}\]
\(R = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4S_{ABC}} = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{65}{8}\) (см).
\(KO \perp ABC\), поэтому треугольник \(KOA\) прямоугольный (\(\angle KOA = 90^\circ\)):
\[\begin{aligned} &l = KA = \sqrt{KO^2 + OA^2} = \sqrt{\left(\frac{5\sqrt{87}}{8}\right)^2 + \left(\frac{65}{8}\right)^2} = {} \\ &= \sqrt{\frac{2175 + 4225}{64}} = \sqrt{100} = 10 \text{ (см)}. \end{aligned}\]
\(S_{\text{бок}} = \pi Rl = \pi \cdot \frac{65}{8} \cdot 10 = \frac{325\pi}{4}\) (см\(^2\)).
Ответ: \(\frac{325\pi}{4}\) см\(^2\).
Основание пирамиды — треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см, а высота пирамиды равна \(\frac{5\sqrt{87}}{8}\) см. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.
Дано:
\(KABC\) — пирамида
\(AB = 13\) см, \(BC = 14\) см, \(AC = 15\) см
высота пирамиды — \(\frac{5\sqrt{87}}{8}\) см
конус описан около пирамиды
Найти: \(S_{\text{бок}}\) конуса.
Решение: Конус описан около пирамиды: основание пирамиды вписано в основание конуса, а вершина \(K\) пирамиды совпадает с вершиной конуса. Значит, окружность основания конуса описана около треугольника \(ABC\); пусть \(O\) — её центр, \(R = OA\) — радиус. Высоты пирамиды и конуса совпадают: \(KO = \frac{5\sqrt{87}}{8}\) см, \(KO \perp ABC\). Боковые рёбра пирамиды, вписанной в конус, являются образующими конуса: \(l = KA\).
Площадь треугольника \(ABC\) найдём по формуле Герона \(S_{ABC} = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)}\), где \(p\) — полупериметр:
\[\begin{aligned} p &= \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21 \text{ (см)}; \\ S_{ABC} &= \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84 \text{ (см}^2\text{)}. \end{aligned}\]
Радиус окружности, описанной около треугольника: \(R = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4S_{ABC}} = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{65}{8}\) (см).
\(KO \perp ABC\), поэтому треугольник \(KOA\) прямоугольный (\(\angle KOA = 90^\circ\)):
\[\begin{aligned} &l = KA = \sqrt{KO^2 + OA^2} = \sqrt{\left(\frac{5\sqrt{87}}{8}\right)^2 + \left(\frac{65}{8}\right)^2} = {} \\ &= \sqrt{\frac{2175 + 4225}{64}} = \sqrt{100} = 10 \text{ (см)}. \end{aligned}\]
По формуле площади боковой поверхности конуса \(S_{\text{бок}} = \pi Rl = \pi \cdot \frac{65}{8} \cdot 10 = \frac{325\pi}{4}\) (см\(^2\)).
Ответ: \(\frac{325\pi}{4}\) см\(^2\).
