Страница 102 номер 10.24, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABC\) — треугольник, \(AB = BC\), \(\angle ABC = \alpha\)
\(S_{ABC} = S\)
ось вращения \(l\) лежит в плоскости треугольника, проходит через точку \(A\), \(l \perp AC\)

Найти: площадь поверхности тела вращения.

Решение: Если ось проходит через вершину \(C\), получается такое же тело: треугольник симметричен относительно своей высоты \(BH\).

Обозначим \(AB = BC = b\), \(AC = c\). Площадь треугольника \(S = \frac{1}{2}b^2\sin\alpha\), откуда \(b^2 = \frac{2S}{\sin\alpha}\). Высота \(BH\) равнобедренного треугольника является медианой и биссектрисой, поэтому из прямоугольного треугольника \(ABH\): \(AH = b\sin\frac{\alpha}{2}\), \(BH = b\cos\frac{\alpha}{2}\) и \(c = 2AH = 2b\sin\frac{\alpha}{2}\).

Опустим из вершины \(B\) перпендикуляр \(BK\) на прямую \(l\). Четырёхугольник \(AKBH\) — прямоугольник (три его угла прямые), поэтому \(KB = AH = \frac{c}{2}\) и \(AK = BH\). Угол \(BAC\) при основании равнобедренного треугольника острый, а \(l \perp AC\), поэтому точки \(B\) и \(C\) лежат по одну сторону от прямой \(l\) и треугольник имеет с ней единственную общую точку \(A\).

Треугольник \(ABC\) — это прямоугольная трапеция \(ACBK\) без прямоугольного треугольника \(AKB\). При вращении вокруг прямой \(l\), содержащей её меньшую боковую сторону \(AK\) (перпендикулярную основаниям), трапеция \(ACBK\) описывает усечённый конус с радиусами оснований \(AC = c\) и \(KB = \frac{c}{2}\) и образующей \(BC = b\), а треугольник \(AKB\) при вращении вокруг прямой, содержащей его катет \(AK\), — конус с вершиной \(A\), радиусом основания \(KB\) и образующей \(AB = b\). Основание этого конуса совпадает с меньшим основанием усечённого конуса, поэтому тело вращения — усечённый конус с конической выемкой, занимающей всё его меньшее основание.

Поверхность полученного тела состоит из большего основания усечённого конуса (круга радиуса \(c\)), боковой поверхности усечённого конуса и боковой поверхности конуса, поэтому её площадь равна сумме площадей этих частей: \[\pi c^2 + \pi \left(c + \frac{c}{2}\right) \cdot b + \pi \cdot \frac{c}{2} \cdot b = \pi c(c + 2b).\]

Так как \(c = 2b\sin\frac{\alpha}{2}\) и \(b^2 = \frac{2S}{\sin\alpha} = \frac{S}{\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}\), то \[\pi c(c + 2b) = 4\pi b^2\sin\frac{\alpha}{2}\left(1 + \sin\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{4\pi S\left(1 + \sin\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos\frac{\alpha}{2}}.\]

Ответ: \(\frac{4\pi S\left(1 + \sin\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos\frac{\alpha}{2}}\).