Страница 110 номер 11.32, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(AM\), \(CN\) — биссектрисы треугольника \(ABC\)
\(AC = 6\) см
\(AN = 2\) см
\(CM = 3\) см

Найти: \(MN\).

Решение: Пусть \(BN = x\) см, \(BM = y\) см; тогда \(AB = 2 + x\), \(BC = 3 + y\). Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для биссектрисы \(CN\): \(\frac{AN}{NB} = \frac{AC}{CB}\), то есть \(\frac{2}{x} = \frac{6}{3 + y}\), откуда \(6x = 2(3 + y)\) и \(y = 3x - 3\). Для биссектрисы \(AM\): \(\frac{CM}{MB} = \frac{CA}{AB}\), то есть \(\frac{3}{y} = \frac{6}{2 + x}\), откуда \(6y = 3(2 + x)\) и \(x = 2y - 2\). Подставим \(y = 3x - 3\):

\[\begin{aligned} x &= 2(3x - 3) - 2; \\ x &= 6x - 8; \\ 5x &= 8; \qquad | : 5 \\ x &= 1{,}6. \end{aligned}\]

Тогда \(y = 3 \cdot 1{,}6 - 3 = 1{,}8\), \(AB = 2 + 1{,}6 = 3{,}6\) (см), \(BC = 3 + 1{,}8 = 4{,}8\) (см).

\(AB^2 + BC^2 = 12{,}96 + 23{,}04 = 36 = AC^2\), поэтому по теореме, обратной теореме Пифагора, \(\angle ABC = 90^\circ\). Из прямоугольного треугольника \(NBM\):

\[\begin{aligned} &MN = \sqrt{BN^2 + BM^2} = \sqrt{1{,}6^2 + 1{,}8^2} = {} \\ &= \sqrt{5{,}8} = \sqrt{\frac{29}{5}} = \frac{\sqrt{145}}{5} \text{ (см)}. \end{aligned}\]

Ответ: \(\frac{\sqrt{145}}{5}\) см.