Страница 102 номер 10.21, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(R\) и \(r\) — радиусы оснований усечённого конуса, \(R > r\)
\(AA_1\), \(BB_1\) — образующие; хорды \(AB\) и \(A_1B_1\) стягивают дуги \(\alpha\), \(0^\circ < \alpha < 180^\circ\)
\(\beta\) — угол между плоскостью \(AA_1B_1\) и плоскостью основания

Найти: \(S_{AA_1B_1B}\).

Решение: Пусть \(O\) и \(O_1\) — центры большего и меньшего оснований: \(OA = OB = R\), \(O_1A_1 = O_1B_1 = r\). Сечение \(AA_1B_1B\) плоскостью, проходящей через две образующие, — равнобокая трапеция. Хорды \(AB\) и \(A_1B_1\) стягивают дуги \(\alpha\), поэтому центральные углы \(AOB\) и \(A_1O_1B_1\) равны \(\alpha\).

Пусть \(A_2\) и \(B_2\) — проекции точек \(A_1\) и \(B_1\) на плоскость большего основания, \(K\) — вершина конуса, из которого получен усечённый конус. Точка \(K\) лежит на оси \(OO_1\), а образующая \(AA_1\) — на прямой \(KA\), поэтому ось \(OO_1\) и образующая \(AA_1\) лежат в одной плоскости \(KOA\). Прямая \(A_1A_2\), как и ось, перпендикулярна плоскости большего основания, значит, \(A_1A_2 \parallel OO_1\); она проходит через точку \(A_1\) плоскости \(KOA\) параллельно прямой \(OO_1\) этой плоскости и потому лежит в ней. Следовательно, точка \(A_2\) лежит на прямой \(OA\), по которой плоскость \(KOA\) пересекает плоскость большего основания. Кроме того, \(O_1A_1 \parallel OA\) (плоскость \(KOA\) пересекает параллельные плоскости оснований по параллельным прямым), поэтому \(OO_1A_1A_2\) — прямоугольник и \(OA_2 = O_1A_1 = r\). Точка \(A_2\) лежит по ту же сторону от прямой \(OO_1\), что и точка \(A_1\) (\(A_1A_2 \parallel OO_1\)), а значит, и точка \(A\) (точки \(A_1\) и \(A\) лежат на луче \(KA\)); так как \(r < R\), точка \(A_2\) лежит на радиусе \(OA\). Так же точка \(B_2\) лежит на радиусе \(OB\) и \(OB_2 = r\).

Значит, ортогональная проекция трапеции \(AA_1B_1B\) на плоскость большего основания — четырёхугольник \(ABB_2A_2\). Он получается из треугольника \(AOB\) удалением треугольника \(A_2OB_2\), поэтому \[\begin{aligned} &S_{ABB_2A_2} = S_{AOB} - S_{A_2OB_2} = {} \\ &= \frac{1}{2}R^2\sin\alpha - \frac{1}{2}r^2\sin\alpha = \frac{(R^2 - r^2)\sin\alpha}{2}. \end{aligned}\]

Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению площади многоугольника на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции: \(S_{ABB_2A_2} = S_{AA_1B_1B} \cdot \cos\beta\). Отсюда \[S_{AA_1B_1B} = \frac{S_{ABB_2A_2}}{\cos\beta} = \frac{(R^2 - r^2)\sin\alpha}{2\cos\beta}.\]

Ответ: \(\frac{(R^2 - r^2)\sin\alpha}{2\cos\beta}\).