Страница 109 номер 11.21, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны \(60^\circ\). Найдите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду.
Дано:
\(KABC\) — пирамида
\(\angle ACB = 90^\circ\), \(AC = 6\) см, \(BC = 8\) см
двугранные углы при рёбрах основания — \(60^\circ\)
конус вписан в пирамиду
Найти: \(S_{\text{бок}}\) конуса.
Решение: Конус вписан в пирамиду: вершина \(K\) пирамиды совпадает с вершиной конуса, а окружность основания конуса с центром \(O\) и радиусом \(r\) вписана в треугольник \(ABC\); \(KO\) — высота конуса, \(KO \perp ABC\).
Из прямоугольного треугольника \(ABC\): \(AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{36 + 64} = 10\) (см). Площадь треугольника \(S_{ABC} = \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\) (см\(^2\)), его полупериметр \(p = \frac{6 + 8 + 10}{2} = 12\) (см). \(r = \frac{S_{ABC}}{p} = \frac{24}{12} = 2\) (см).
Пусть \(M\) — точка касания катета \(BC\) с окружностью основания конуса; отрезок \(KM\) — образующая конуса: \(l = KM\). \(OM \perp BC\) (радиус, проведённый в точку касания), а \(OM\) — проекция наклонной \(KM\) на плоскость основания, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах \(KM \perp BC\). Значит, угол \(KMO\) — линейный угол двугранного угла при ребре \(BC\): \(\angle KMO = 60^\circ\).
Из прямоугольного треугольника \(KOM\) (\(\angle KOM = 90^\circ\)): \(l = KM = \frac{OM}{\cos 60^\circ} = \frac{2}{0{,}5} = 4\) (см).
\(S_{\text{бок}} = \pi rl = \pi \cdot 2 \cdot 4 = 8\pi\) (см\(^2\)).
Ответ: \(8\pi\) см\(^2\).
Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны \(60^\circ\). Найдите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду.
Дано:
\(KABC\) — пирамида
\(\angle ACB = 90^\circ\), \(AC = 6\) см, \(BC = 8\) см
двугранные углы при рёбрах основания — \(60^\circ\)
конус вписан в пирамиду
Найти: \(S_{\text{бок}}\) конуса.
Решение: Конус вписан в пирамиду: вершина \(K\) пирамиды совпадает с вершиной конуса, а окружность основания конуса с центром \(O\) и радиусом \(r\) вписана в треугольник \(ABC\); \(KO\) — высота конуса, \(KO \perp ABC\).
Из прямоугольного треугольника \(ABC\): \(AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{36 + 64} = 10\) (см). Площадь треугольника \(S_{ABC} = \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\) (см\(^2\)), его полупериметр \(p = \frac{6 + 8 + 10}{2} = 12\) (см). Площадь треугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности, поэтому \(r = \frac{S_{ABC}}{p} = \frac{24}{12} = 2\) (см).
Пусть \(M\) — точка касания катета \(BC\) с окружностью основания конуса; отрезок \(KM\) — образующая конуса: \(l = KM\). \(OM \perp BC\) (радиус, проведённый в точку касания), а \(OM\) — проекция наклонной \(KM\) на плоскость основания, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах \(KM \perp BC\). Значит, угол \(KMO\) — линейный угол двугранного угла при ребре \(BC\): \(\angle KMO = 60^\circ\).
Из прямоугольного треугольника \(KOM\) (\(\angle KOM = 90^\circ\)): \(l = KM = \frac{OM}{\cos 60^\circ} = \frac{2}{0{,}5} = 4\) (см).
По формуле площади боковой поверхности конуса \(S_{\text{бок}} = \pi rl = \pi \cdot 2 \cdot 4 = 8\pi\) (см\(^2\)).
Ответ: \(8\pi\) см\(^2\).
