Страница 109 номер 11.23, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
В усечённый конус вписана правильная усечённая треугольная пирамида. Радиусы оснований усечённого конуса равны 6 см и 18 см, а высота — 9 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.
Дано:
\(ABCA_1B_1C_1\) — правильная усечённая пирамида, вписанная в усечённый конус
\(R = 18\) см, \(r = 6\) см — радиусы оснований усечённого конуса
\(h = 9\) см — высота усечённого конуса
Найти: \(S_{\text{бок}}\) усечённой пирамиды.
Решение: Основания усечённой пирамиды, вписанной в усечённый конус, вписаны в основания усечённого конуса, а боковые рёбра усечённой пирамиды являются образующими усечённого конуса. Пусть \(O\) и \(O_1\) — центры нижнего и верхнего оснований усечённого конуса. Правильные треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) вписаны в окружности радиусов \(R = 18\) см и \(r = 6\) см, поэтому \(AB = R\sqrt{3} = 18\sqrt{3}\) см, \(A_1B_1 = r\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\) см.
Боковое ребро \(AA_1\) — образующая, поэтому оно служит боковой стороной осевого сечения, проходящего через точку \(A\); в плоскости этого сечения лежат ось \(OO_1\) и радиусы \(OA = R\), \(O_1A_1 = r\). Плоскость сечения пересекает параллельные плоскости оснований по параллельным прямым, поэтому \(O_1A_1 \parallel OA\). Ось перпендикулярна плоскостям оснований, поэтому \(OO_1 \perp OA\), а отрезок \(OO_1\) — высота усечённого конуса: \(OO_1 = 9\) см. Проведём \(A_1H \perp OA\). Четырёхугольник \(OHA_1O_1\) — прямоугольник, значит, \(A_1H = OO_1 = 9\) см, \(OH = O_1A_1 = 6\) см, \(AH = OA - OH = 18 - 6 = 12\) (см). Из прямоугольного треугольника \(AHA_1\):
\[AA_1 = \sqrt{AH^2 + A_1H^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = 15 \text{ (см)}.\]
Боковые грани правильной усечённой пирамиды — равные равнобокие трапеции. В трапеции \(AA_1B_1B\) проведём высоту \(A_1E\).
\[\begin{aligned} AE &= \frac{AB - A_1B_1}{2} = \frac{18\sqrt{3} - 6\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ (см)}; \\ A_1E &= \sqrt{AA_1^2 - AE^2} = \sqrt{225 - 108} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13} \text{ (см)}; \\ S_{AA_1B_1B} &= \frac{AB + A_1B_1}{2} \cdot A_1E = 12\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{13} = 36\sqrt{39} \text{ (см}^2\text{)}; \\ S_{\text{бок}} &= 3 \cdot 36\sqrt{39} = 108\sqrt{39} \text{ (см}^2\text{)}. \end{aligned}\]
Ответ: \(108\sqrt{39}\) см\(^2\).
В усечённый конус вписана правильная усечённая треугольная пирамида. Радиусы оснований усечённого конуса равны 6 см и 18 см, а высота — 9 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.
Дано:
\(ABCA_1B_1C_1\) — правильная усечённая пирамида, вписанная в усечённый конус
\(R = 18\) см, \(r = 6\) см — радиусы оснований усечённого конуса
\(h = 9\) см — высота усечённого конуса
Найти: \(S_{\text{бок}}\) усечённой пирамиды.
Решение: Основания усечённой пирамиды, вписанной в усечённый конус, вписаны в основания усечённого конуса, а боковые рёбра усечённой пирамиды являются образующими усечённого конуса. Пусть \(O\) и \(O_1\) — центры нижнего и верхнего оснований усечённого конуса. Правильные треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) вписаны в окружности радиусов \(R = 18\) см и \(r = 6\) см, поэтому \(AB = R\sqrt{3} = 18\sqrt{3}\) см, \(A_1B_1 = r\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\) см.
Боковое ребро \(AA_1\) — образующая, поэтому оно служит боковой стороной осевого сечения, проходящего через точку \(A\); в плоскости этого сечения лежат ось \(OO_1\) и радиусы \(OA = R\), \(O_1A_1 = r\). Плоскость сечения пересекает параллельные плоскости оснований по параллельным прямым, поэтому \(O_1A_1 \parallel OA\). Ось перпендикулярна плоскостям оснований, поэтому \(OO_1 \perp OA\), а отрезок \(OO_1\) — высота усечённого конуса: \(OO_1 = 9\) см. Проведём \(A_1H \perp OA\). Четырёхугольник \(OHA_1O_1\) — прямоугольник, значит, \(A_1H = OO_1 = 9\) см, \(OH = O_1A_1 = 6\) см, \(AH = OA - OH = 18 - 6 = 12\) (см). Из прямоугольного треугольника \(AHA_1\):
\[AA_1 = \sqrt{AH^2 + A_1H^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = 15 \text{ (см)}.\]
Боковые грани правильной усечённой пирамиды — равные равнобокие трапеции. В трапеции \(AA_1B_1B\) проведём высоту \(A_1E\); отрезок \(AE\) равен полуразности оснований трапеции.
\[\begin{aligned} AE &= \frac{AB - A_1B_1}{2} = \frac{18\sqrt{3} - 6\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ (см)}; \\ A_1E &= \sqrt{AA_1^2 - AE^2} = \sqrt{225 - 108} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13} \text{ (см)}; \\ S_{AA_1B_1B} &= \frac{AB + A_1B_1}{2} \cdot A_1E = 12\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{13} = 36\sqrt{39} \text{ (см}^2\text{)}; \\ S_{\text{бок}} &= 3 \cdot 36\sqrt{39} = 108\sqrt{39} \text{ (см}^2\text{)}. \end{aligned}\]
Ответ: \(108\sqrt{39}\) см\(^2\).
