Страница 110 номер 11.29, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Глава 2. Тела вращения. §11. Комбинации конуса и пирамиды. Страница 110. Номер 11.29

Дано:
конус: радиус основания \(10\) см, высота \(15\) см
\(MABCD\) — пирамида, вписанная в конус
\(ABCD\) — трапеция, \(BC \parallel AD\)
\(BC = 12\) см, \(AD = 16\) см

Найти: расстояние между прямыми \(AD\) и \(MC\).

Решение: Пирамида вписана в конус: её основание \(ABCD\) вписано в основание конуса, а вершина \(M\) — вершина конуса. Пусть \(O\) — центр основания конуса; высота конуса \(MO = 15\) см перпендикулярна плоскости основания, \(OA = OB = OC = OD = 10\) см.

Прямая \(AD\) лежит в плоскости основания, а прямая \(MC\) пересекает эту плоскость в точке \(C\), не лежащей на \(AD\), поэтому прямые \(AD\) и \(MC\) скрещиваются. Прямая \(AD\) параллельна прямой \(BC\), лежащей в плоскости \(MBC\), и сама в этой плоскости не лежит (иначе плоскость \(MBC\) совпала бы с плоскостью основания, а точка \(M\) ей не принадлежит), поэтому прямая \(AD\) параллельна плоскости \(MBC\). Плоскость \(MBC\) проходит через прямую \(MC\) параллельно \(AD\), значит, расстояние между скрещивающимися прямыми \(AD\) и \(MC\) равно расстоянию от прямой \(AD\) до плоскости \(MBC\), то есть расстоянию от любой точки прямой \(AD\) до этой плоскости.

Пусть \(E\) и \(F\) — середины хорд \(AD\) и \(BC\). Хорды короче диаметра \(20\) см, поэтому центр \(O\) на них не лежит, а отрезок, соединяющий центр с серединой хорды, перпендикулярен хорде: \(OE \perp AD\), \(OF \perp BC\). Так как \(AD \parallel BC\), прямые \(OE\) и \(OF\) проходят через точку \(O\) перпендикулярно одной прямой \(BC\) в плоскости основания, то есть совпадают: точки \(E\), \(O\), \(F\) лежат на одной прямой. Из прямоугольных треугольников \(OEA\) и \(OFB\):

\[\begin{aligned} OE &= \sqrt{OA^2 - AE^2} = \sqrt{100 - 64} = 6 \text{ (см)}; \\ OF &= \sqrt{OB^2 - BF^2} = \sqrt{100 - 36} = 8 \text{ (см)}. \end{aligned}\]

Прямая \(BC\) перпендикулярна пересекающимся прямым \(OF\) и \(MO\) (прямая \(MO\) перпендикулярна плоскости основания), поэтому \(BC \perp MOF\). Точка \(E\) лежит на прямой \(OF\), то есть в плоскости \(MOF\); проведём в этой плоскости \(EH \perp MF\). Прямая \(EH\) перпендикулярна прямой \(MF\) и прямой \(BC\) (та перпендикулярна плоскости \(MOF\)), а эти прямые пересекаются в точке \(F\), поэтому \(EH \perp MBC\) и длина \(EH\) — искомое расстояние.

график

Из прямоугольного треугольника \(MOF\): \(MF = \sqrt{MO^2 + OF^2} = \sqrt{225 + 64} = 17\) (см). Отрезки \(MO\) и \(EH\) — высоты треугольника \(MEF\), проведённые к прямым \(EF\) и \(MF\) (прямая \(MO\) перпендикулярна плоскости основания, а значит, и прямой \(EF\)), поэтому \(EF \cdot MO = MF \cdot EH\) — удвоенная площадь этого треугольника, откуда \(EH = \frac{EF \cdot MO}{MF}\).

Параллельные хорды \(AD\) и \(BC\) могут лежать по разные стороны от центра \(O\) или по одну сторону от него — возможны оба случая.

Первый случай: центр \(O\) лежит между прямыми \(AD\) и \(BC\), то есть внутри трапеции. Тогда точки \(E\) и \(F\) лежат по разные стороны от \(O\) и \(EF = OE + OF = 14\) см.

график