Вопросы после параграфа §12 на странице 113, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Сферой называют геометрическое место точек пространства, расстояния от которых до заданной точки равны данному положительному числу. Заданную точку называют центром сферы. Если \(O\) — центр сферы, а данное положительное число равно \(r\), то сфере принадлежат те и только те точки \(X\) пространства, для которых \(OX = r\).

Ответ: сферой называют геометрическое место точек пространства, расстояния от которых до заданной точки равны данному положительному числу.

Любой отрезок, соединяющий точку сферы с её центром, называют радиусом сферы; длину этого отрезка также принято называть радиусом сферы. Из определения сферы следует, что все её радиусы равны. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называют диаметром сферы.

Ответ: радиусом сферы называют любой отрезок, соединяющий точку сферы с её центром (радиусом называют и длину этого отрезка); диаметром сферы называют отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр.

Пусть \(AB\) — диаметр сферы с центром \(O\). Отрезки \(OA\) и \(OB\) — радиусы сферы, \(OA = OB = r\), а центр \(O\) лежит на отрезке \(AB\), поэтому \(AB = OA + OB = r + r = 2r\).

Ответ: диаметр сферы равен \(2r\).

Шаром называют геометрическое место точек пространства, расстояния от которых до заданной точки не более данного положительного числа. Заданную точку называют центром шара, а сферу, ограничивающую шар, — поверхностью шара; радиусом шара называют радиус его поверхности. Если \(X\) — произвольная точка шара радиуса \(r\) с центром в точке \(O\), то \(OX \leqslant r\). Шар можно рассматривать как тело, полученное в результате вращения полукруга вокруг прямой, содержащей его диаметр.

Ответ: шаром называют геометрическое место точек пространства, расстояния от которых до заданной точки не более данного положительного числа.

Сферу, ограничивающую шар, называют поверхностью шара. Диаметр шара — это диаметр поверхности шара, то есть отрезок, соединяющий две точки этой сферы и проходящий через центр шара. Если радиус шара равен \(r\), то его диаметр равен \(2r\).

Ответ: диаметр шара — это диаметр поверхности шара, то есть отрезок, соединяющий две точки сферы, ограничивающей шар, и проходящий через её центр.

Точка \(M(x; y; z)\) принадлежит сфере с центром в точке \(A(a; b; c)\) и радиусом \(r\) тогда и только тогда, когда \(AM = r\), то есть \(\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2} = r\). Обе части этого равенства неотрицательны, поэтому оно равносильно равенству их квадратов. Значит, координаты каждой точки сферы удовлетворяют уравнению \((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2\), и каждая точка, координаты которой ему удовлетворяют, принадлежит сфере. В частности, сфера радиуса \(r\) с центром в начале координат имеет уравнение \(x^2 + y^2 + z^2 = r^2\).

Ответ: уравнение сферы с центром в точке \(A(a; b; c)\) и радиусом \(r\) имеет вид \((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2\).

Точка \(M(x; y; z)\) принадлежит шару с центром в точке \(A(a; b; c)\) и радиусом \(r\) тогда и только тогда, когда \(AM \leqslant r\), то есть \(\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2} \leqslant r\). Обе части этого неравенства неотрицательны, поэтому оно равносильно неравенству их квадратов. Значит, неравенству \((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 \leqslant r^2\), где \(r > 0\), удовлетворяют координаты тех и только тех точек пространства, которые принадлежат шару радиуса \(r\) с центром в точке \(A(a; b; c)\).

Ответ: неравенство \((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 \leqslant r^2\), где \(r > 0\), задаёт шар радиуса \(r\) с центром в точке \(A(a; b; c)\).