Страница 107 номер 11.2, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 10 см, а высота — 5 см. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около данной пирамиды.
Дано:
\(KABCD\) — правильная пирамида
\(AB = 10\) см
\(KO = 5\) см — высота пирамиды
конус описан около пирамиды
Найти: площадь осевого сечения конуса.
Решение: Пирамида правильная, поэтому её основание \(ABCD\) — квадрат, а основание \(O\) высоты \(KO\) — центр квадрата, то есть точка пересечения его диагоналей и центр описанной около него окружности. Конус описан около пирамиды, поэтому основание конуса — круг с центром \(O\), ограниченный окружностью, описанной около квадрата, а высоты пирамиды и конуса совпадают: высота конуса — \(KO = 5\) см.
Диагональ \(AC\) квадрата проходит через центр \(O\), а её концы лежат на окружности основания конуса, поэтому \(AC\) — диаметр основания конуса. Плоскость \(AKC\) проходит через вершину \(K\) и центр \(O\) основания, то есть через ось конуса, поэтому треугольник \(AKC\) — осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник с основанием \(AC\), а его высота — \(KO\), так как \(KO \perp AC\).
\(AC = AB\sqrt{2} = 10\sqrt{2}\) (см) — диагональ квадрата.
\(S_{AKC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot KO = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{2} \cdot 5 = 25\sqrt{2}\) (см\(^2\)).
Ответ: \(25\sqrt{2}\) см\(^2\).
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 10 см, а высота — 5 см. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около данной пирамиды.
Дано:
\(KABCD\) — правильная пирамида
\(AB = 10\) см
\(KO = 5\) см — высота пирамиды
конус описан около пирамиды
Найти: площадь осевого сечения конуса.
Решение: Пирамида правильная, поэтому её основание \(ABCD\) — квадрат, а основание \(O\) высоты \(KO\) — центр квадрата, то есть точка пересечения его диагоналей и центр описанной около него окружности. Конус описан около пирамиды, значит, пирамида вписана в конус: квадрат \(ABCD\) вписан в основание конуса, а вершина \(K\) совпадает с вершиной конуса. Поэтому основание конуса — круг с центром \(O\), ограниченный окружностью, описанной около квадрата, а высоты пирамиды и конуса совпадают: высота конуса — \(KO = 5\) см.
Диагональ \(AC\) квадрата проходит через центр \(O\), а её концы лежат на окружности основания конуса, поэтому \(AC\) — диаметр основания конуса. Плоскость \(AKC\) проходит через вершину \(K\) и центр \(O\) основания, то есть через ось конуса, поэтому треугольник \(AKC\) — осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник с основанием \(AC\), а его высота — \(KO\), так как \(KO \perp AC\).
\(AC = AB\sqrt{2} = 10\sqrt{2}\) (см) — диагональ квадрата.
\(S_{AKC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot KO = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{2} \cdot 5 = 25\sqrt{2}\) (см\(^2\)).
Ответ: \(25\sqrt{2}\) см\(^2\).
