Страница 109 номер 11.26, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Около усечённого конуса описана правильная усечённая треугольная пирамида, стороны оснований которой равны 18 см и 24 см, а боковое ребро — 6 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.
Дано:
\(ABCA_1B_1C_1\) — правильная усечённая пирамида, описанная около усечённого конуса
\(AB = 24\) см, \(A_1B_1 = 18\) см
\(AA_1 = 6\) см
Найти: \(S_{\text{бок}}\) усечённого конуса.
Решение: Основания усечённой пирамиды, описанной около усечённого конуса, описаны около оснований усечённого конуса, а боковые грани пирамиды проходят через образующие усечённого конуса. Значит, окружности оснований усечённого конуса вписаны в правильные треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\). Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной \(a\), равен \(\frac{a\sqrt{3}}{6}\), поэтому радиусы оснований усечённого конуса
\[\begin{aligned} R &= \frac{24\sqrt{3}}{6} = 4\sqrt{3} \text{ (см)}; \\ r &= \frac{18\sqrt{3}}{6} = 3\sqrt{3} \text{ (см)}. \end{aligned}\]
Окружность, вписанная в правильный треугольник, касается его сторон в их серединах; пусть \(M\) и \(M_1\) — середины сторон \(AB\) и \(A_1B_1\). Грань \(AA_1B_1B\) проходит через образующую усечённого конуса; концы этой образующей лежат на окружностях оснований и в плоскости грани, то есть на прямых \(AB\) и \(A_1B_1\), — значит, это образующая \(MM_1\).
Боковые грани правильной усечённой пирамиды — равные равнобокие трапеции. В трапеции \(AA_1B_1B\) отрезок \(MM_1\) соединяет середины оснований, поэтому \(MM_1 \perp AB\) и длина образующей \(l = MM_1\) равна высоте трапеции. Проведём высоту \(A_1E\).
\[\begin{aligned} AE &= \frac{AB - A_1B_1}{2} = \frac{24 - 18}{2} = 3 \text{ (см)}; \\ l &= MM_1 = A_1E = \sqrt{AA_1^2 - AE^2} = \sqrt{36 - 9} = 3\sqrt{3} \text{ (см)}; \\ S_{\text{бок}} &= \pi (R + r) l = \pi (4\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) \cdot 3\sqrt{3} = 63\pi \text{ (см}^2\text{)}. \end{aligned}\]
Ответ: \(63\pi\) см\(^2\).
Около усечённого конуса описана правильная усечённая треугольная пирамида, стороны оснований которой равны 18 см и 24 см, а боковое ребро — 6 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.
Дано:
\(ABCA_1B_1C_1\) — правильная усечённая пирамида, описанная около усечённого конуса
\(AB = 24\) см, \(A_1B_1 = 18\) см
\(AA_1 = 6\) см
Найти: \(S_{\text{бок}}\) усечённого конуса.
Решение: Основания усечённой пирамиды, описанной около усечённого конуса, описаны около оснований усечённого конуса, а боковые грани пирамиды проходят через образующие усечённого конуса. Значит, окружности оснований усечённого конуса вписаны в правильные треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\). Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной \(a\), равен \(\frac{a\sqrt{3}}{6}\), поэтому радиусы оснований усечённого конуса
\[\begin{aligned} R &= \frac{24\sqrt{3}}{6} = 4\sqrt{3} \text{ (см)}; \\ r &= \frac{18\sqrt{3}}{6} = 3\sqrt{3} \text{ (см)}. \end{aligned}\]
Окружность, вписанная в правильный треугольник, касается его сторон в их серединах; пусть \(M\) и \(M_1\) — середины сторон \(AB\) и \(A_1B_1\). Грань \(AA_1B_1B\) проходит через образующую усечённого конуса; концы этой образующей лежат на окружностях оснований и в плоскости грани, то есть на прямых \(AB\) и \(A_1B_1\), — значит, это образующая \(MM_1\).
Боковые грани правильной усечённой пирамиды — равные равнобокие трапеции. В трапеции \(AA_1B_1B\) отрезок \(MM_1\) соединяет середины оснований, поэтому \(MM_1 \perp AB\) и длина образующей \(l = MM_1\) равна высоте трапеции. Проведём высоту \(A_1E\); отрезок \(AE\) равен полуразности оснований трапеции.
\[\begin{aligned} AE &= \frac{AB - A_1B_1}{2} = \frac{24 - 18}{2} = 3 \text{ (см)}; \\ l &= MM_1 = A_1E = \sqrt{AA_1^2 - AE^2} = \sqrt{36 - 9} = 3\sqrt{3} \text{ (см)}; \\ S_{\text{бок}} &= \pi (R + r) l = \pi (4\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) \cdot 3\sqrt{3} = 63\pi \text{ (см}^2\text{)}. \end{aligned}\]
Ответ: \(63\pi\) см\(^2\).
