Страница 114 номер 12.5, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Как по отношению к сфере \((x + 2)^2 + (y - 3)^2 + z^2 = 100\) расположена точка: 1) \(A(-6; 9; -4\sqrt{3})\); 2) \(B(5; 8; -5)\); 3) \(C(-10; -4; 1)\)?
Уравнение сферы можно записать в виде \((x - (-2))^2 + (y - 3)^2 + (z - 0)^2 = 10^2\), поэтому её центр — точка \(K(-2; 3; 0)\), а радиус \(r = 10\).
1) \(KA^2 = (-6 + 2)^2 + (9 - 3)^2 + (-4\sqrt{3} - 0)^2 = 16 + 36 + 48 = 100\), то есть \(KA = r\) — точка \(A\) лежит на сфере.
2) \(KB^2 = (5 + 2)^2 + (8 - 3)^2 + (-5 - 0)^2 = 49 + 25 + 25 = 99 < 100\), то есть \(KB < r\) — точка \(B\) лежит внутри сферы.
3) \(KC^2 = (-10 + 2)^2 + (-4 - 3)^2 + (1 - 0)^2 = 64 + 49 + 1 = 114 > 100\), то есть \(KC > r\) — точка \(C\) лежит вне сферы.
Ответ: 1) точка \(A\) лежит на сфере; 2) точка \(B\) лежит внутри сферы; 3) точка \(C\) лежит вне сферы.
Как по отношению к сфере \((x + 2)^2 + (y - 3)^2 + z^2 = 100\) расположена точка: 1) \(A(-6; 9; -4\sqrt{3})\); 2) \(B(5; 8; -5)\); 3) \(C(-10; -4; 1)\)?
Уравнение сферы можно записать в виде \((x - (-2))^2 + (y - 3)^2 + (z - 0)^2 = 10^2\), поэтому её центр — точка \(K(-2; 3; 0)\), а радиус \(r = 10\). Точка лежит на сфере, внутри сферы (в шаре, ограниченном сферой, но не на самой сфере) или вне сферы в зависимости от того, равно её расстояние до центра радиусу, меньше или больше его. Сравним квадраты расстояний от данных точек до центра \(K\) с числом \(r^2 = 100\).
1) \(KA^2 = (-6 + 2)^2 + (9 - 3)^2 + (-4\sqrt{3} - 0)^2 = 16 + 36 + 48 = 100\), то есть \(KA = r\) — точка \(A\) лежит на сфере.
2) \(KB^2 = (5 + 2)^2 + (8 - 3)^2 + (-5 - 0)^2 = 49 + 25 + 25 = 99 < 100\), то есть \(KB < r\) — точка \(B\) лежит внутри сферы.
3) \(KC^2 = (-10 + 2)^2 + (-4 - 3)^2 + (1 - 0)^2 = 64 + 49 + 1 = 114 > 100\), то есть \(KC > r\) — точка \(C\) лежит вне сферы.
Ответ: 1) точка \(A\) лежит на сфере; 2) точка \(B\) лежит внутри сферы; 3) точка \(C\) лежит вне сферы.
