Страница 102 номер 10.26, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\)
\(BC = 18\) см, \(AC = 24\) см
биссектриса проведена из вершины меньшего угла треугольника

Найти: длину этой биссектрисы.

Решение: По теореме Пифагора \(AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{576 + 324} = \sqrt{900} = 30\) (см). Меньший угол треугольника лежит против меньшей стороны \(BC = 18\) см, то есть это угол \(A\). Пусть \(AL\) — его биссектриса, точка \(L\) лежит на катете \(BC\).

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: \(\frac{CL}{LB} = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{30} = \frac{4}{5}\). Значит, \(CL = \frac{4}{9} \cdot BC = \frac{4}{9} \cdot 18 = 8\) (см). Из прямоугольного треугольника \(ACL\): \(AL = \sqrt{AC^2 + CL^2} = \sqrt{576 + 64} = \sqrt{640} = 8\sqrt{10}\) (см).

Ответ: \(8\sqrt{10}\) см.