Страница 108 номер 11.14, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дано:
\(KABC\) — пирамида
\(AB = BC\), \(AC = a\), \(\angle BAC = \alpha\)
угол между каждым боковым ребром и плоскостью основания — \(\beta\)
конус описан около пирамиды
Найти: \(S_{\text{бок}}\) конуса.
Решение: Все боковые рёбра пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания, поэтому проекцией вершины \(K\) на плоскость основания является центр \(O\) окружности, описанной около треугольника \(ABC\): \(KO \perp ABC\). Значит, около пирамиды можно описать конус: его основание — круг, ограниченный этой окружностью (радиус \(R = OA = OB = OC\)), вершина — точка \(K\), высота — \(KO\). Боковые рёбра пирамиды, вписанной в конус, являются образующими конуса: \(l = KC\).
Треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\), поэтому \(\angle BCA = \angle BAC = \alpha\) и \(\angle ABC = 180^\circ - 2\alpha\). По теореме синусов \(\frac{AC}{\sin\angle ABC} = 2R\), откуда \(R = \frac{a}{2\sin(180^\circ - 2\alpha)} = \frac{a}{2\sin 2\alpha}\).
\(OC\) — проекция бокового ребра \(KC\) на плоскость основания, поэтому угол между ребром \(KC\) и плоскостью основания — угол \(KCO\): \(\angle KCO = \beta\). Из прямоугольного треугольника \(KOC\) (\(\angle KOC = 90^\circ\)): \(l = KC = \frac{OC}{\cos\beta} = \frac{R}{\cos\beta}\).
\[S_{\text{бок}} = \pi Rl = \frac{\pi R^2}{\cos\beta} = \frac{\pi a^2}{4\sin^2 2\alpha\cos\beta}.\]
Ответ: \(\frac{\pi a^2}{4\sin^2 2\alpha\cos\beta}\).
Дано:
\(KABC\) — пирамида
\(AB = BC\), \(AC = a\), \(\angle BAC = \alpha\)
угол между каждым боковым ребром и плоскостью основания — \(\beta\)
конус описан около пирамиды
Найти: \(S_{\text{бок}}\) конуса.
Решение: Все боковые рёбра пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания, поэтому проекцией вершины \(K\) на плоскость основания является центр \(O\) окружности, описанной около треугольника \(ABC\): \(KO \perp ABC\). Значит, около пирамиды можно описать конус: его основание — круг, ограниченный этой окружностью (радиус \(R = OA = OB = OC\)), вершина — точка \(K\), высота — \(KO\). Боковые рёбра пирамиды, вписанной в конус, являются образующими конуса: \(l = KC\).
Треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\), поэтому \(\angle BCA = \angle BAC = \alpha\) и \(\angle ABC = 180^\circ - 2\alpha\). По теореме синусов \(\frac{AC}{\sin\angle ABC} = 2R\), откуда \(R = \frac{a}{2\sin(180^\circ - 2\alpha)} = \frac{a}{2\sin 2\alpha}\).
\(OC\) — проекция бокового ребра \(KC\) на плоскость основания, поэтому угол между ребром \(KC\) и плоскостью основания — угол \(KCO\): \(\angle KCO = \beta\). Из прямоугольного треугольника \(KOC\) (\(\angle KOC = 90^\circ\)): \(l = KC = \frac{OC}{\cos\beta} = \frac{R}{\cos\beta}\).
По формуле площади боковой поверхности конуса:
\[S_{\text{бок}} = \pi Rl = \frac{\pi R^2}{\cos\beta} = \frac{\pi a^2}{4\sin^2 2\alpha\cos\beta}.\]
Ответ: \(\frac{\pi a^2}{4\sin^2 2\alpha\cos\beta}\).
