Страница 102 номер 10.22, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Ромб со стороной \(a\) и острым углом \(\alpha\) вращается вокруг прямой, проходящей через вершину острого угла ромба перпендикулярно к его стороне. Найдите площадь поверхности тела вращения.
Дано:
\(ABCD\) — ромб, \(AB = a\), \(\angle BAD = \alpha\) — острый угол
ось вращения \(l\) лежит в плоскости ромба, проходит через точку \(A\), \(l \perp AB\)
Найти: площадь поверхности тела вращения.
Решение: Если ось перпендикулярна стороне \(AD\), получается такое же тело: ромб симметричен относительно диагонали \(AC\). Угол \(\alpha\) острый, поэтому ромб лежит по одну сторону от прямой \(l\) и имеет с ней единственную общую точку \(A\).
Опустим из вершины \(D\) перпендикуляр \(DK\) на прямую \(l\). Прямые \(DK\) и \(AB\) перпендикулярны \(l\), поэтому \(DK \parallel AB\); через точку \(D\) проходит единственная прямая, параллельная \(AB\), — прямая \(DC\), значит, точка \(K\) лежит на прямой \(CD\). В прямоугольном треугольнике \(AKD\) угол \(ADK\) равен углу \(DAB\) как накрест лежащий при параллельных прямых \(CD\) и \(AB\), поэтому \(KD = a\cos\alpha\), \(AK = a\sin\alpha\); \(KC = KD + DC = a + a\cos\alpha\).
Ромб \(ABCD\) — это прямоугольная трапеция \(ABCK\) без прямоугольного треугольника \(AKD\). При вращении вокруг прямой \(l\), содержащей её меньшую боковую сторону \(AK\) (перпендикулярную основаниям), трапеция \(ABCK\) описывает усечённый конус с радиусами оснований \(AB = a\) и \(KC = a + a\cos\alpha\) и образующей \(BC = a\), а треугольник \(AKD\) при вращении вокруг прямой, содержащей его катет \(AK\), — конус с вершиной \(A\), радиусом основания \(KD = a\cos\alpha\) и образующей \(AD = a\). Основание этого конуса лежит в плоскости большего основания усечённого конуса, поэтому тело вращения — усечённый конус с конической выемкой.
Поверхность полученного тела состоит из круга радиуса \(AB\) (меньшее основание усечённого конуса), боковой поверхности усечённого конуса, кольца между окружностями радиусов \(KD\) и \(KC\) и боковой поверхности конуса. Площадь круга равна \(\pi a^2\), площадь боковой поверхности усечённого конуса — \(\pi (a + a + a\cos\alpha) \cdot a = \pi a^2(2 + \cos\alpha)\), площадь кольца — \(\pi (a + a\cos\alpha)^2 - \pi (a\cos\alpha)^2 = \pi a^2(1 + 2\cos\alpha)\), площадь боковой поверхности конуса — \(\pi \cdot a\cos\alpha \cdot a = \pi a^2\cos\alpha\). Площадь поверхности тела: \[\begin{aligned} &\pi a^2 + \pi a^2(2 + \cos\alpha) + \pi a^2(1 + 2\cos\alpha) + \pi a^2\cos\alpha = {} \\ &= 4\pi a^2(1 + \cos\alpha) = 8\pi a^2\cos^2\frac{\alpha}{2}. \end{aligned}\]
Ответ: \(8\pi a^2\cos^2\frac{\alpha}{2}\).
Ромб со стороной \(a\) и острым углом \(\alpha\) вращается вокруг прямой, проходящей через вершину острого угла ромба перпендикулярно к его стороне. Найдите площадь поверхности тела вращения.
Дано:
\(ABCD\) — ромб, \(AB = a\), \(\angle BAD = \alpha\) — острый угол
ось вращения \(l\) лежит в плоскости ромба, проходит через точку \(A\), \(l \perp AB\)
Найти: площадь поверхности тела вращения.
Решение: Если ось перпендикулярна стороне \(AD\), получается такое же тело: ромб симметричен относительно диагонали \(AC\). Угол \(\alpha\) острый, поэтому ромб лежит по одну сторону от прямой \(l\) и имеет с ней единственную общую точку \(A\).
Опустим из вершины \(D\) перпендикуляр \(DK\) на прямую \(l\). Прямые \(DK\) и \(AB\) перпендикулярны \(l\), поэтому \(DK \parallel AB\); через точку \(D\) проходит единственная прямая, параллельная \(AB\), — прямая \(DC\), значит, точка \(K\) лежит на прямой \(CD\). В прямоугольном треугольнике \(AKD\) угол \(ADK\) равен углу \(DAB\) как накрест лежащий при параллельных прямых \(CD\) и \(AB\), поэтому \(KD = a\cos\alpha\), \(AK = a\sin\alpha\); \(KC = KD + DC = a + a\cos\alpha\).
Ромб \(ABCD\) — это прямоугольная трапеция \(ABCK\) без прямоугольного треугольника \(AKD\). При вращении вокруг прямой \(l\), содержащей её меньшую боковую сторону \(AK\) (перпендикулярную основаниям), трапеция \(ABCK\) описывает усечённый конус с радиусами оснований \(AB = a\) и \(KC = a + a\cos\alpha\) и образующей \(BC = a\), а треугольник \(AKD\) при вращении вокруг прямой, содержащей его катет \(AK\), — конус с вершиной \(A\), радиусом основания \(KD = a\cos\alpha\) и образующей \(AD = a\). Основание этого конуса лежит в плоскости большего основания усечённого конуса, поэтому тело вращения — усечённый конус с конической выемкой.
Поверхность полученного тела состоит из круга радиуса \(AB\) (меньшее основание усечённого конуса), боковой поверхности усечённого конуса, кольца между окружностями радиусов \(KD\) и \(KC\) и боковой поверхности конуса, поэтому её площадь равна сумме площадей этих частей. Площадь круга равна \(\pi a^2\), площадь боковой поверхности усечённого конуса — \(\pi (a + a + a\cos\alpha) \cdot a = \pi a^2(2 + \cos\alpha)\), площадь кольца — \(\pi (a + a\cos\alpha)^2 - \pi (a\cos\alpha)^2 = \pi a^2(1 + 2\cos\alpha)\), площадь боковой поверхности конуса — \(\pi \cdot a\cos\alpha \cdot a = \pi a^2\cos\alpha\). Площадь поверхности тела: \[\begin{aligned} &\pi a^2 + \pi a^2(2 + \cos\alpha) + \pi a^2(1 + 2\cos\alpha) + \pi a^2\cos\alpha = {} \\ &= 4\pi a^2(1 + \cos\alpha) = 8\pi a^2\cos^2\frac{\alpha}{2}. \end{aligned}\]
Ответ: \(8\pi a^2\cos^2\frac{\alpha}{2}\).
