Страница 108 номер 11.17, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Двугранный угол правильной треугольной пирамиды при ребре основания равен \(\alpha\), а расстояние от центра основания до боковой грани равно \(m\). Найдите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду.
Дано:
\(KABC\) — правильная пирамида
двугранный угол при ребре основания — \(\alpha\)
расстояние от центра основания до боковой грани — \(m\)
конус вписан в пирамиду
Найти: \(S_{\text{бок}}\) конуса.
Решение: Конус вписан в пирамиду: вершина \(K\) пирамиды совпадает с вершиной конуса, а окружность основания конуса вписана в правильный треугольник \(ABC\). Её центр \(O\) — центр основания пирамиды, \(KO\) — высота конуса, \(KO \perp ABC\). Пусть \(M\) — точка касания стороны \(AB\) с окружностью основания конуса; \(r = OM\) — радиус основания конуса, а отрезок \(KM\) — образующая конуса: \(l = KM\).
\(OM \perp AB\) (радиус, проведённый в точку касания), а \(OM\) — проекция наклонной \(KM\) на плоскость основания, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах \(KM \perp AB\). Значит, угол \(KMO\) — линейный угол двугранного угла при ребре \(AB\): \(\angle KMO = \alpha\).
Прямая \(AB\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(OM\) и \(KM\) плоскости \(KOM\), поэтому \(AB \perp KOM\). Проведём высоту \(OF\) прямоугольного треугольника \(KOM\) к гипотенузе \(KM\). Прямая \(OF\) лежит в плоскости \(KOM\), поэтому \(OF \perp AB\); кроме того, \(OF \perp KM\). Значит, прямая \(OF\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(AB\) и \(KM\) плоскости \(KAB\), то есть \(OF \perp KAB\), и \(OF = m\) — расстояние от центра основания до боковой грани \(KAB\).
Точка \(F\) лежит на отрезке \(MK\), поэтому \(\angle OMF = \angle KMO = \alpha\). Из прямоугольного треугольника \(OFM\) (\(\angle OFM = 90^\circ\)): \(r = OM = \frac{OF}{\sin\alpha} = \frac{m}{\sin\alpha}\). Из прямоугольного треугольника \(KOM\) (\(\angle KOM = 90^\circ\)): \(l = KM = \frac{OM}{\cos\alpha} = \frac{m}{\sin\alpha\cos\alpha}\).
\[S_{\text{бок}} = \pi rl = \pi \cdot \frac{m}{\sin\alpha} \cdot \frac{m}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\pi m^2}{\sin^2\alpha\cos\alpha}.\]
Ответ: \(\frac{\pi m^2}{\sin^2\alpha\cos\alpha}\).
Двугранный угол правильной треугольной пирамиды при ребре основания равен \(\alpha\), а расстояние от центра основания до боковой грани равно \(m\). Найдите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду.
Дано:
\(KABC\) — правильная пирамида
двугранный угол при ребре основания — \(\alpha\)
расстояние от центра основания до боковой грани — \(m\)
конус вписан в пирамиду
Найти: \(S_{\text{бок}}\) конуса.
Решение: Конус вписан в пирамиду: вершина \(K\) пирамиды совпадает с вершиной конуса, а окружность основания конуса вписана в правильный треугольник \(ABC\). Её центр \(O\) — центр основания пирамиды, \(KO\) — высота конуса, \(KO \perp ABC\). Пусть \(M\) — точка касания стороны \(AB\) с окружностью основания конуса; \(r = OM\) — радиус основания конуса, а отрезок \(KM\) — образующая конуса: \(l = KM\).
\(OM \perp AB\) (радиус, проведённый в точку касания), а \(OM\) — проекция наклонной \(KM\) на плоскость основания, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах \(KM \perp AB\). Значит, угол \(KMO\) — линейный угол двугранного угла при ребре \(AB\): \(\angle KMO = \alpha\).
Прямая \(AB\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(OM\) и \(KM\) плоскости \(KOM\), поэтому \(AB \perp KOM\). Проведём высоту \(OF\) прямоугольного треугольника \(KOM\) к гипотенузе \(KM\). Прямая \(OF\) лежит в плоскости \(KOM\), поэтому \(OF \perp AB\); кроме того, \(OF \perp KM\). Значит, прямая \(OF\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(AB\) и \(KM\) плоскости \(KAB\), то есть \(OF \perp KAB\), и \(OF = m\) — расстояние от центра основания до боковой грани \(KAB\).
Точка \(F\) лежит на отрезке \(MK\), поэтому \(\angle OMF = \angle KMO = \alpha\). Из прямоугольного треугольника \(OFM\) (\(\angle OFM = 90^\circ\)): \(r = OM = \frac{OF}{\sin\alpha} = \frac{m}{\sin\alpha}\). Из прямоугольного треугольника \(KOM\) (\(\angle KOM = 90^\circ\)): \(l = KM = \frac{OM}{\cos\alpha} = \frac{m}{\sin\alpha\cos\alpha}\).
По формуле площади боковой поверхности конуса:
\[S_{\text{бок}} = \pi rl = \pi \cdot \frac{m}{\sin\alpha} \cdot \frac{m}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\pi m^2}{\sin^2\alpha\cos\alpha}.\]
Ответ: \(\frac{\pi m^2}{\sin^2\alpha\cos\alpha}\).
