Страница 109 номер 11.24, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — правильная усечённая пирамида, вписанная в усечённый конус
\(AB = 12\) см, \(A_1B_1 = 8\) см
высота пирамиды равна \(2\sqrt{7}\) см

Найти: \(S_{\text{бок}}\) усечённого конуса.

Решение: Усечённый конус описан около усечённой пирамиды: основания пирамиды вписаны в основания усечённого конуса, а боковые рёбра пирамиды являются образующими усечённого конуса. Пусть \(O\) и \(O_1\) — центры нижнего и верхнего оснований усечённого конуса, \(R\) и \(r\) — их радиусы. Центр окружности, описанной около квадрата, — точка пересечения его диагоналей, поэтому \(O\) и \(O_1\) — середины диагоналей \(AC\) и \(A_1C_1\):

\[\begin{aligned} R &= OA = \frac{AC}{2} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \text{ (см)}; \\ r &= O_1A_1 = \frac{A_1C_1}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \text{ (см)}. \end{aligned}\]

Основания пирамиды лежат в плоскостях оснований усечённого конуса, а ось \(OO_1\) перпендикулярна этим плоскостям, поэтому \(OO_1\) — высота и усечённого конуса, и пирамиды: \(OO_1 = 2\sqrt{7}\) см.

Плоскость \(AA_1C_1C\) проходит через точки \(O\) и \(O_1\), то есть через ось, поэтому сечение \(AA_1C_1C\) — осевое; его боковая сторона \(AA_1\) — образующая \(l\) усечённого конуса. Плоскость сечения пересекает параллельные плоскости оснований по параллельным прямым, поэтому \(O_1A_1 \parallel OA\); кроме того, \(OO_1 \perp OA\). Проведём \(A_1H \perp OA\). Четырёхугольник \(OHA_1O_1\) — прямоугольник, значит, \(A_1H = OO_1 = 2\sqrt{7}\) см, \(OH = O_1A_1 = 4\sqrt{2}\) см, \(AH = OA - OH = 2\sqrt{2}\) см. Из прямоугольного треугольника \(AHA_1\) и по формуле площади боковой поверхности усечённого конуса:

\[\begin{aligned} l &= AA_1 = \sqrt{AH^2 + A_1H^2} = \sqrt{8 + 28} = 6 \text{ (см)}; \\ S_{\text{бок}} &= \pi (R + r) l = \pi (6\sqrt{2} + 4\sqrt{2}) \cdot 6 = 60\pi\sqrt{2} \text{ (см}^2\text{)}. \end{aligned}\]

Ответ: \(60\pi\sqrt{2}\) см\(^2\).