Страница 110 номер 11.33, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(AB\) — диаметр окружности, \(C\) — точка окружности
\(CH \perp AB\), \(CH = 18\) см
\(HB - AH = 27\) см

Найти: длину окружности.

Решение: Точка \(C\) не совпадает с концами диаметра (\(CH = 18\) см), поэтому вписанный угол \(ACB\), опирающийся на диаметр, прямой, и \(CH\) — высота прямоугольного треугольника \(ACB\), проведённая к гипотенузе. Такая высота есть среднее пропорциональное между отрезками гипотенузы: \(CH^2 = AH \cdot HB\). Пусть \(AH = x\) см, тогда \(HB = x + 27\) см.

\[\begin{aligned} x(x + 27) &= 18^2; \\ x^2 + 27x - 324 &= 0; \\ D &= 27^2 + 4 \cdot 324 = 729 + 1296 = 2025 = 45^2; \\ x_1 &= \frac{-27 + 45}{2} = 9; \\ x_2 &= \frac{-27 - 45}{2} = -36. \end{aligned}\]

Длина отрезка положительна, поэтому \(AH = 9\) см, \(HB = 9 + 27 = 36\) (см), а диаметр \(AB = AH + HB = 45\) см. Длина окружности равна \(\pi \cdot AB = 45\pi\) (см).

Ответ: \(45\pi\) см.